Az egyenes körkúp térfogatának meghatározásánál felhasználjuk, hogy a gúla térfogata: \( V_{gúla}=\frac{T_{alap}·m_{gúla}}{3} \).
A kúp térfogatát köré és beleírt gúlák segítségével, a kétoldali közelítés módszerével határozzuk meg.
A kúp alaplapjába, azaz az r sugarú körbe és a kör köré egy-egy szabályos sokszöget írunk, melyek oldalszámai n=3, 4, 6, 8, stb. A beírt gúláknál a sokszög csúcsai a körvonalon helyezkednek el, a köréírtaknál pedig a sokszögek oldalai (az alaplap élei) érintik a kúp alapkörét. A gúlák és a kúp alaplapja egy síkba esnek. A beleírt gúlák térfogata mindig kisebb, a körírt gúlák térfogata pedig mindig nagyobb a kúp térfogatánál, felírhatjuk tehát a következő egyenlőtlenségeket:
Vbele < Vkúp <Vköré
azaz: \( \frac{t_{bele}·m}{3}=V_{bele}<V_{kúp}<V_{köré}=\frac{t_{köré}·m}{3} \).
Ahol m a kúp és a gúlák magassága, tbele és tköré a bele és köré írt gúlák alaplapjainak területe.
A beleírt és köréírt gúlák oldalszámának növelésével a beleírt sokszög terület, így a beleírt gúla térfogata is növekszik, míg a köréírt sokszög területe, vele együtt a köréírt gúla térfogata csökken. A bele és a köréírt sokszögek oldalszámát növelve a két sokszög területe között a különbség bármilyen kicsivé tehető, és ez a kör területét azaz r2π -t adja. Így tehát a kúp térfogata:
\( V_{kúp}=\frac{t_{kör}·m_{kúp}}{3} \), azaz \( V=\frac{r^2· π ·m}{3} \)
Arkhimédész gyakorlatilag a fenti módszert (kimerítés módszerét) alkalmazta mind a henger, mind a gömb, mind a kúp térfogatának meghatározásánál. Egyik legszebb felfedezésének tartotta, hogy az egyenlő oldalú henger a beleírt gömb és kúp térfogatainak aránya:
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.