A gúla térfogata

A gúla térfogatának a meghatározásánál felhasználjuk a hasábok térfogatánál megállapított összefügést, azaz a hasáb térfogata egyenlő az hasáb alapterületének és a hasáb magasságának szorzatával. Vhasáb=talapterület ⋅mhasáb.

Tétel:

A gúla térfogata egyenlő az alaplap területének és a gúla magasságának szorzatának harmadrészével.

Formulával: ​\( V=\frac{T·m}{3} \)

Itt T a gúla alaplapjának a területe, m pedig az ehhez tartozó testmagasság hossza.

Ennek a tételnek a bizonyítása több lépésből áll.

Vázlat:

1. Elsőként háromszög alapú gúlára (tetraéderre) látjuk be az állítást.

Bebizonyítjuk, hogy ha két háromszög alapú gúla alapterülete egyenlő nagyságú és az ehhez tartozó testmagasságuk egyenlő hosszúságú, akkor térfogatuk is egyenlő. (Segédtétel.)

2. Ezután azt fogjuk megmutatni, hogy a tetraéder térfogata egyenlő az ugyanekkora alapterületű és testmagasságú háromszögalapú hasáb térfogatának a harmadrészével.

3. A tetraéderre bebizonyított állítás felhasználásával belátjuk tetszőleges sokszög alapú gúlára is az összefüggést.

Bizonyítás.

1. Az ABC háromszög alapú, Dcsúcsú gúla térfogata:  ​\( V=\frac{T·m}{3} \)​.

Segédtétel:

Elsőként belátjuk, hogy ha két háromszög alapú gúla alapterülete egyenlő nagyságú és az ehhez tartozó testmagasságuk egyenlő hosszúságú, akkor térfogatuk egyenlő.

Legyen adott egy adott síkon álló két egyenlő T alapterületű (nem okvetlenül egybevágó háromszög alapú) gúla, amelyek testmagassága is egyenlő.

Az alapterületek az ABC és EFG háromszögek. A gúlák csúcsai D illetve H. Tehát feltétel szerint az ABC háromszög területe egyenlő EFG háromszög területével. Azaz tABC=tEFG.

Ugyancsak feltétel, hogy mind a D, mind  H csúcs m magasságnyira van az alapsíktól.

Egy tetszőleges m’ magasságban az adott síkkal párhuzamos síkkal messük el mind a két gúlát. Ekkor az ABC háromszög alapú gúlából kimetszük az A’B’C’ háromszöget, az EFG háromszög alapú gúlából pedig az E’F’G’ háromszöget.

Mivel az ABC és az A’B’C’ háromszögek között egy D középpontú m:m’ arányú középpontos hasonlóság áll fent, ezért a területeik arányára ennek az aránynak a négyzete igaz. Azaz: tABC:tA’B’C’=(m:m’)2.

Másrészt az EFG és az E’F’G’ háromszögek között egy H középpontú, ugyancsak m:m’ arányú középpontos hasonlóság áll fent, ezért a területeik arányára itt is ugyanannak aránynak a négyzete igaz. Azaz: tEFG:tE’F’G’=(m:m’)2.

Ha tehát tABC=tEFG igaz volt, akkor tA’B’C’= tE’F’G’ is igaz.

Mivel az m’ magasság tetszőleges volt, ezért mondhatjuk, hogy ennek a két gúlának bármelyik, az alapsíkkal párhuzamos síkmetszete egyenlő területű.

Ebből viszont már a Cavalieri-elv szerint következik, hogy a két egyenlő alapterületű és egyenlő testmagasságú gúla térfogata egyenlő.

2. Ez után azt fogjuk megmutatni, hogy a tetraéder térfogata egyenlő az ugyanekkora alapterületű és testmagasságú háromszögalapú hasáb térfogatának a harmadrészével.

Tekintsük az ABCD tetraédert, amelynek ABC háromszög alapú lapja az S síkra illeszkedik. Az ABC háromszög területét jelöljük T-vel, a csúcsnak az S síktól való távolsága, az ABCD tetraéder testmagasságát pedig jelöljük m-mel.

Ennek az ABCD tetraéder D csúcsára illesszünk egy S’ síkot, amely párhuzamos az síkkal.

Húzzunk a B illetve C csúcsból párhuzamosokat az AD oldaléllel. Így az S’ síkban kapjuk az E és F pontokat.

Az S’ síkban létrejött a DEF háromszög, és a térben az ABCDEF háromszög alapú hasáb.

Ennek a hasábnak a térfogata:VABCDEF=T⋅m.

Kössük össze az E és a B pontokat.
DEF alaplapú B csúcsú gúla térfogata egyenlő az ABC alaplapú D csúcsú gúla térfogatával, hiszen az ABC háromszög egybevágó a DEF háromszöggel, területük T. A két gúla magassága az S és S’ síkok távolsága. Tehát VABCD=VDEFB.

Válasszuk most le a hasábról a DEFB gúlát. A maradék test egy gúla, tekintsük ennek alaplapjának az ACFD síkidomot, a gúla csúcs pedig a B csúcs. A hasáb származtatásából (CF||AD és S||S’) következően az ACFD síkidom paralelogramma.

Ez a test a CDB síkkal két tetraéderre bontható. Az ACD alapú B csúcsú és a CFD alapú B csúcsú tetraéderekre.
Ennek a két tetraédernek közös a B csúcsa, és mivel alaplapjuk egy síkba (ACFD) esik, ezért azonos a magasságuk is.
Másrészt mivel az ACFD síkidom paralelogramma, ezért az ACD és a CFD háromszögek egybevágók. Így az ACDB és CFDB tetraéderekről azt állapítottuk meg, hogy területük és magasságuk is egyenlő. Ezért a segédtétel miatt a térfogatuk is egyenlő. VACDB=VCFDB.

Természetesen az ACDB test megegyezik az eredeti ABCD gúlával.

Azt kaptuk tehát, hogy az ABCDEF hasáb három egyenlő térfogatú részre volt bontható: VABCD=VACDB=VCFDB.

Mivel az ABCDEF hasáb térfogataVABCDEF=T⋅m, ezért az ABCD gúla térfogata: ​\( V=\frac{T·m}{3} \)​.

3. A tetraéderre bebizonyított állítás felhasználásával belátjuk tetszőleges sokszög alapú gúlára is az összefüggést.

Tetszőleges sokszög (A1, A2,…An) alapú gúla térfogata is: ​\( V=\frac{T·m}{3} \)​.

Az n oldalú sokszög alapú gúla átlóinak segítségével háromszög alapú gúlákra (tetraéderekre) bontható. (Ha nem konvex az alaplapja, akkor is.)

Az egyes tetraéderek térfogata összege adja az eredeti sokszög alapú gúla térfogatát.

.

 

 

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.