A hasábok térfogatának meghatározása előtt tekintsük át a poliéderek (a poliéderek olyan testek, amelyeket csak sokszögek határolnak) térfogatával kapcsolatos megállapításokat (természetesen minden hasáb poliéder).

A poliéderek térfogatmérésénél minden poliéderhez, mint a térfogat értékét hozzárendelünk egy pozitív valós számot.
• Térfogategységnek azt a kockát tekintjük, amelynek az élei egységnyi hosszúságúak.

Minden poliéderhez úgy rendelünk egy pozitív való számot (a térfogat mérőszámát), hogy teljesüljön az alábbi két követelmény.

1. Egybevágó poliéderekhez ugyanazt a számot rendeljük, azaz megkívánjuk, hogy egybevágó poliéderek azonos térfogatúak legyenek.
2. Ha a poliédert véges sok poliéderre szétvágunk, akkor a részek térfogatának az összege az eredeti poliéder térfogata legyen.

A hasáb térfogatára vonatkozó összefüggés levezetése több lépésben fog történni.

1. Téglatest térfogata.

1.1 Segédtétel: Ha két téglatest alaplapja egybevágó, akkor magasságuk aránya egyenlő térfogatuk arányával.
1.2 A segédtétel felhasználásával a téglatest térfogata: V=a⋅b⋅c.

2. Háromoldalú egyenes hasáb térfogata: Kiegészítéssel visszavezetjük téglatestre.

3. Egyenes hasábok térfogata: Feldarabolással visszavezetjük háromszögalapú hasábok esetére.

4. Ferde hasáb térfogata: A Cavalieri-elv segítségével határozzuk meg.

1. A téglatest térfogata.

Azt fogjuk belátni, hogy az a, b és c élhosszúságú téglatest térfogata V=a⋅b⋅c, ahol a, b és c egy csúcsba összefutó éleket jelöl. Ez az összefüggés a téglatest esetében megegyezik a hasáb térfogatára vonatkozó általánosabb V=T⋅m képlettel.)

1.1 Elsőként egy segédtételt kell belátnunk, amely a következőképpen szól:

Ha két téglatest alaplapja egybevágó, akkor magasságuk aránya egyenlő térfogatuk arányávalc2:c1=V2:V1.

 


Osszuk fel a c1 magasságú téglatestnek ezt c1 élét n egyenlő részre. Legyen n egy tetszőleges pozitív egész szám.Egy ilyen szeletnek a magassága c1/n, térfogata V1/n. Próbáljuk meg a c2 magasságú téglatestet felépíteni a c1/n magasságú szeletekből.

Hány ilyen szelet kell hozzá? Egyrészt úgy is kérdezhetjük, hányszor fér rá a c2 -re a c1/n hosszúság?
Jelölje k ahányszor még ráfér. Tehát (k+1) -szer már nem. Így a következő egyenlőtlenség írható fel: ​\( k·\frac{c_{1}}{n}≤c_{2}<(k+1)·\frac{c_{1}}{n} \)​.

Másrészt azt is kérdezhetjük, hogy a c1/n magasságú térfogatú szeletekből hány szelet fedi le a V2 térfogatot? Ugyanannyi, ahányszor a c2 magasságra ráfért a c1/n érték.
Itt a következő egyenlőtlenség írható fel: ​\( k·\frac{V_{1}}{n}≤V_{2}<(k+1)·\frac{V_{1}}{n} \)​.

Osszuk el az előbbi egyenlőtlenséget c1-gyel (c1≠0), a másodikat pedig V1-vel. (V1≠0). Ekkor a következő egyenlőtlenségeket kapjuk:

\( \frac{k}{n}≤\frac{c_{2}}{c_{1}}<\frac{k+1}{n} \)
\( \frac{k}{n}≤\frac{V_{2}}{V_{1}}<\frac{k+1}{n} \)​.

Azt kaptuk tehát, hogy mind a c2 /c1 mind a V2 /V1 értékek a beleesnek a [k/n;(k+1)/n] intervallumba, amelynek 1/n a hosszúsága .

Ezt a számegyenesen így tudjuk szemléltetni: 

Mivel n egy tetszőleges pozitív egész szám, amely tetszőlegesen nagy lehet, ezért az 1/n  intervallum hossza bármilyen kicsi is lehet. És akármilyen kicsi is, a c2 /c1 és a V2 /V1 értékek mindig bele fognak esni, azaz​:

c2 /c1 és a V2 /V1 arányok különbsége (abszolút értékben) tehát akármilyen kicsi is lehet, ez csak úgy lehetséges, ha a két érték egyenlő, azaz, ha a különbségük nulla. tehát: c2 /c1 =V2 /V1..

Ezzel a segédtétel állítását beláttuk.

1.2 Most a segédtétel felhasználásával be fogjuk látni, hogy az abc, oldalélű téglatest térfogata: V=a⋅b⋅c, ahol a, b és c a téglatest egy csúcsba futó oldaléleinek a hosszát jelenti.

Induljunk ki az egységnyi oldalélű kockából. Ennek térfogata V1=1.
Ha megnöveljük az egyik irányban (magasság) az éleit a-szorosára, akkor egy olyan téglatestet kapunk, amelynek alaplapja egybevágó a kockáéval, de magassága annak a-szorosa. Így a segédtétel alapján magasságaik és térfogataik között fennáll a következő aránypár: 1:a=V1:V2, vagyis: V2=a térfogategység, hiszen V1=1 volt.

Döntsük el az így kapott V2=a térfogatú téglatestet úgy, hogy alaplapja a és 1, magassága pedig szintén 1 legyen.
Most ennek a magasságát növeljük meg b-szeresére. Az így kapott V3 térfogatú téglatest alaplapja egybevágó a V2 térfogatú téglatestével, úgyhogy ismét alkalmazhatjuk a fent segédtételt, miszerint magasságaik és térfogataik között fennáll a következő aránypár:
1:b=V2:V3, vagyis V3=b⋅V2, azaz V3=a⋅b.


Ismételjük meg a fenti eljárást. A V3 térfogatú téglatestet eldöntve, egységnyi hosszúságú magasságát c-szeresére növelve, a segédtétel újra alkalmazható:
1:c=V3:V. Ebből: V=a⋅V3, azaz V=a⋅b⋅c.

Ezt kellett bizonyítani.

 

2. Háromoldalú egyenes hasáb térfogata. Kiegészítéssel visszavezetjük téglatestre.


Tekintsünk egy tetszőleges háromszögalapú egyenes hasábot. A mellékelt ábra szerint az alaplapja ABCΔ . Ennek területét jelöljük T-vel, a hasáb magasságát pedig m-el. Azt kell bizonyítanunk, hogy V=T⋅m.

Ezt az ABCΔ -t a leghosszabb oldalához (ha nincs leghosszabb: a nem kisebb oldala) tartozó magassága (ma) segtségével egészítsük ki téglalappá. A jobb oldali ábra jelölései szerint a BCDE téglalap két-két egybevágó háromszögből áll: BEAΔ ≅ BGAΔ , és AGCΔ ≅ CDAΔ. Viszont BGAΔ és AGCΔ együtt kiadják az eredeti ABCΔ-t, ezért elmondhatjuk, hogy a BCDE téglalap területe kétszerese az ABCΔ területének. Jelöléssel: TABC=TBCDE/2.

Alaplapjának téglalappá történő kiegészítésével a háromoldalú egyenes hasábot téglatestté egészíthetjük ki. Ezt a téglatestet két-két egybevágó háromszögalapú hasáb alkotja, amelyekből egy-egy az eredeti háromszögalapú hasábot adja. Ezért a téglatest térfogata kétszerese az eredeti háromoldalú hasáb térfogatának. Jelöléssel: 

 

Ez azt jelenti, hogy a háromoldalú hasáb térfogata egyenlő az alapterület és a a hasáb magasságának szorzatával. És ezt akartuk bizonyítani.

3. Egyenes hasábok térfogata: Feldarabolással visszavezetjük háromszögalapú hasábok esetére.

A tetszőleges sokszögalapú egyenes hasáb alaplapját átlói segítségével háromszögekké, így magát a hasábot haromszögalapú hasábokká tudjuk bontani.
Az alaplap területe a rész-háromszögek területeinek összege: T=T1+T2+…Tn.
Az eredeti hasáb térfogata az egyes háromszögalapú hasábok térfogatainak összege: V=V1+V2+…Vn. Így: V=T1⋅m+T2⋅m+…Tn⋅m=T1+T2+…Tn)⋅m. Tehát: V=T⋅m.

És ezt kellett igazolni.

4. Ferde hasáb térfogata: A Cavalieri-elv segítségével határozzuk meg.

Cavalieri-elv: Ha két testhez van olyan sík, hogy valamennyi vele párhuzamos sík belőlük páronként azonos területű síkmetszetet vág ki, akkor a két test térfogata egyenlő.

Egy adott ferde alapú hasábhoz mindig található olyan egyenes hasáb, amelyeknél az alaplappal párhuzamos síkmetszetek páronként egyenlők. Mivel az egyenes hasáb térfogata Vegyenes=T⋅m, ezért a ferde hasáb térfogata is: Vferde=T⋅m.

 

Külön említést érdemel a paralelepipedon, amely olyan ferde hasáb, amelynek minden oldala paralelogramma.

Szögfüggvények segítségével belátható, hogy az a, b, c oldalélű paralelepipedon alapterülete: TABCD=a⋅b⋅sinω , ahol ω az alaplap két oldalélének a hajlásszöge.
Másrészt m=c sinζ , ahol ζ a c oldalélnek és az alaplapnak a hajlásszöge.
Így tehát a paralelepipedon térfogata:
V= TABCD⋅m= a⋅b⋅sinω ⋅c⋅sinζ. Egyszerűbben: V= a⋅b⋅c⋅sinω⋅sinζ.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.