Mindjárt az elején felvetődik a kérdés: Mitől szabályos egy test?

Az egyenes körhenger, az egyenes körkúp is rendelkezik szabályossággal.
Talán még azt is mondhatnánk, hogy a legszabályosabb test a gömb.

Arkhimédész  nem a szabályosságuk miatt kérte a síremlékére ezen testek rajzát.
Hanem az egymás írt testek térfogatainak az aránya ejtette ámulatba.

Akkor hát mit értünk szabályos testeken?

Definíció:

Szabályos testeknek nevezzük azokat a konvex poliédereket, amelyeknek élei, élszögei és lapszögei is egyenlők.

Megjegyzés: Az olyan térrészt, amelyet véges sok sokszöglap határol, és amely teljes egyenest nem tartalmaz, poliédernek nevezzük.

Eukleidész “Elemek” című könyvében eljutott a szabályos testek ismertetéséig is. Bebizonyította, hogy csak 5 szabályos test (poliéder) létezik, több nem lehetséges.

Az öt szabályos poliéder a következő:

Tetraéder: 4 lapú test.

Hexaéder (Kocka): 6 lapú test.

Oktaéder: 8 lapú test.

Dodekaéder: 12 lapú test.

Ikozaéder: 20 lapú test,

A szabályos testek adatai:

Lapok száma Csúcsok száma Élek száma Oldallap éleinek száma Egy csúcsba futó élek száma
Szabályos tetraéder 4 4 6 3 3
Hexaéder (Kocka) 6 8 12 4 3
Oktaéder 8 6 12 3 4
Dodekaéder 12 20 30 5 3
Ikozaéder 20 12 30 3 5

Leolvasható Euler tétele, amely a csúcsok, a lapok és az élek száma között mond ki összefüggést:

Lapok száma + csúcsok száma = élek száma + 2

A tételt már Descartes is ismerte, Euler azonban tőle függetlenül újra felfedezte.

Az egyes testek elkészítése (hálója):

Oktaéder hálója

Dodekaéder hálója

Ikozaéder hálója

A szabályos testekkel már Pitagorasz és követői a püthagoreusok is foglakoztak. Az ikozaédert már Babilonban is ismerték, és Pádua mellett találtak egy Kr.e. 500 előtti időből származó dodekaéder alakú etruszk emlékművet.

Az alábbiakban az arisztotelészi négy őselem (tűz, föld, levegő víz) és a szabályos testek kapcsolatát szemlélteti, ahogyan az ókori görögök képzelték:

Tetraéder a tűz jelképe

Hexaéder (kocka): a Föld szimbóluma

Az oktaéder a levegő ideája.

Ikozaéder a víz szimbóluma

A dodekaéder pedig a kozmosz ideája

Feladat:

Egy a élhosszúságú kocka minden lapközéppontját kössük össze a szomszédos lapközéppontokkal, így egy szabályos oktaéder élhálózatát kapjuk! Mekkora az ehhez tartozó szabályos oktaéder felszíne és térfogata?

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 2311. feladat.)

Megoldás:

A mellékelt ábrán láthatjuk a kockát és benne a lapközéppontokat összekötő élekből kapott oktaédert.

 

Ha a kockát felülnézetből nézzük, így látható az oktaéder síkmetszete. Az L1L2=b szakasz az oktaéder éle, amely az L1PL2 derékszögű háromszög átfogója. Ebből Pitagorasz tétele értelmében ​\( b=\sqrt{2}·\frac{a}{2} \)

Felszín:

Mivel az oktaéder felszínét 8 db b oldalú egybevágó háromszög alkotja, ezért:

Térfogat:

Mivel az oktaéder térfogatát két darab olyan négyzet alapú gúla alkotja, amelynek alapéle és oldaléle is b, magassága pedig mindegyiknek a/2, ezért:

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.