Ptolemaiosz görög matematikusról elnevezett tétel a húrnégyszögekhez kapcsolódik és a húrnégyszögek oldalai és átlói között fogalmaz meg egy összefüggést.

Ptolemaiosz, Klaudiosz

Tétel:

A körbe írt négyszög átlóinak szorzata egyenlő a szemközti oldalak szorzatának összegével.

A mellékelt  ábra jelöléseivel:

AB⋅DC+BC⋅AD=AC⋅BD, azaz a⋅c+b⋅d=f⋅e.

A tétel igazát könnyű belátni a nevezetes húrnégyszögek esetén. Például a négyzetre vagy a téglalapra.

AB=BC=CD=DA=a.
AC=f=BD=e=a∙√2.
Így AB∙DC+BC∙AD=AC∙BD, hiszen
a∙a+a∙a=a∙​\( \sqrt{2} \)​∙ a∙​\( \sqrt{2} \)​.
a2+a2=a2∙2.
AB=CD=a; BC=DA=b.
AC=BD=​\( \sqrt{a^{2}+b^{2}} \)
Így AB⋅DC+BC⋅AD=AC⋅BD, hiszen
a∙a+b∙b=\( \sqrt{a^{2}+b^{2}} \)\( \sqrt{a^{2}+b^{2}} \)
a2+b2=a2+b2

Persze, egy általános húrnégyszög esetén már nem ennyire nyilvánvaló ez az összefüggés.

Bizonyítás:

A bizonyításhoz fel fogjuk használni a kerületi szögek tételét és a hasonló háromszögekre vonatkozó összefüggéseket.

1. Tekintsük a B csúcsnál lévő ABC szöget. A DB átló ezt a szöget két részre osztja. Legyen szög ennek a szögnek a nem nagyobbik része. A mellékelt ábrán ez az ABD∠ szög.
2. Mérjük rá az ABD∠=∝ szöget a BC oldalhoz a négyszög belseje felé. Az így kapott ABD∠ és CBE∠ szögek (∝) tehát egyenlők.
  3. A D csúcsnál lévő ADB∠ megegyezik a C csúcsnál lévő ACB∠ szöggel. Hiszen mindkét szög az AB ívhez (húrhoz) tartozó kerületi szögek.
Az ABD és EBC háromszögek hasonlók, hiszen két szögük megegyezik, ezért, az oldalaik aránya megegyezik.

Tehát  AD:BD=EC:BC.
d:e=EC:b.

Ebből: EC=b∙d/e.

4. Ugyanakkor a BAC és a BDC (egy íves kétszer áthúzott) szögek is egyenlők, mert mindketten a BC ívhez tartozó kerületi szögek.
5. Ugyancsak egyenlők az ABE és DBC (egy íves egyszer áthúzott) szögek is, hiszen mindketten tartalmazzák az egy íves () szögeket és a DBE szöget.
6. Az ABE és a DBC háromszögek tehát hasonlók, mivel az EAB és a CDB (egyíves, kétszer áthúzott) szögek, valamint az ABE és a DBC (egyíves, egyszer áthúzott) szögek egyenlők. Így az AEB és a DCB (egyíves) szögek is egyenlők.
Az ABE és DBC háromszögek hasonlóságából megfelelő oldalak arányának egyenlősége következik.

Tehát: AE:AB=DC:BD
AE:a=c:e.

Ebből: AE=a∙c/e.

Adjuk most össze a 3. lépésben kapott EC=b∙d/e és a most kapott AE=a∙c/e kifejezéseket.

AE+EC=AC=a∙c/e+ b∙d/e.
AC=f=(a∙c+b∙d)/e

Ebből: e∙f=a∙c+b∙d.

Ezt kellett bizonyítani.

Lásd: dr. Gerőcs László: Azok a csodálatos húrnégyszögek

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.