Logaritmus fogalma

A hatvány fogalmának általánosításával bármely pozitív valós szám felírható egy 1-től különböző valós szám hatványaként. A hatványozásnál adott alap mellett a kitevőhöz, mint változóhoz rendeljük hozzá a hatvány értékét. Sokszor szükség van azonban arra, hogy adott hatvány alap esetén a hatvány értékének ismeretében a kitevőt határozzuk meg.

Egy számnak adott alapra vonatkozó kitevőjét logaritmusnak nevezték el.

Adott alap esetén adott hatványértékhez tartozó kitevő meghatározása a logaritmálás.

Definíció:

Egy b pozitív valós szám „a” alapú (a>0, a≠1) logaritmusának nevezzük azt a kitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapjuk.

Formulával: logab=k, ha ak=b, vagy röviden: alogab=b.

Feltételek:  k=logab∈ℝ, a;b∈ℝ, a>0, a≠1, b>0.
Azaz a logaritmus alapja pozitív, 1-től különböző valós szám, a logaritmus változója, azaz a hatvány értéke csak pozitív valós szám, míg a logaritmus értéke, azaz a hatványkitevő tetszőleges valós szám lehet.

A definícióból közvetlenül következik, hogy loga1=0, hiszen a0=1,  illetve logaa=1, mert a1=a. (a>0, a≠1).

Példák:

log28=3, mert 23=8.
​​\( log_{9}27=\frac{3}{2} \)​, mert  ​\( 9^{\frac{3}{2}}=\sqrt{9^{3}}=3^{3}=27 \)
log10100=lg100=2, mert 102=100. (A 10-es alapú logaritmust röviden lg-vel jelöljük.)

Már az ókorban Arkhimédésznél is felmerült az a gondolat, hogy adott alap esetén a hatványkitevők számtani sorozatához hozzárendeljük (például egy táblázat segítségével) a hatványértékek mértani sorozatát. Így az ak⋅an=ak+n azonosságnak megfelelően a számok szorzását a hozzájuk rendelt kitevők összeadásával lehetne elvégezni.

A XVI. században, a gazdasági fejlődés következtében is, sok matematikus kutatta, hogyan lehetne a számolásokat megkönnyíteni. Ők is Arkhimédész gondolatát követték. Az első ilyen táblázatot az angol Stevin készítette el kamatos kamat-számítás céljaira. A svájci Bürgi órásmester és matematikus, aki Prágában Kepler munkatársa is volt, 1611-ben készítette el 8 év munkájával Stevin-éhez hasonló logaritmus táblázatát. Ezt azonban csak 1620-ban tette közzé, éppen Kepler tanácsára.

J. Napier skót matematikus Bürgi-től függetlenül készített táblázatot, amelyet 1614-ben közzé is tett “Csodálatos logaritmustáblázat leírása” címmel. Ennek a táblázatnak használata azonban nehézkes volt. Ezért Napier és barátja Briggs londoni matematikaprofesszor közösen megtervezték a 10-es alapú logaritmus táblázatot, amelyet Briggs ki is dolgozott és 1617-ben Napier halála után jelentett meg. A logaritmus szót is maga Napier alkotta meg a görög logosz (arány) ás arithmosz (szám) szavakból. Ezt követően, szintén az 1600-as években az olasz Cavalieri összeállította a szögfüggvények logaritmus táblázatát.

Még az 1970-es évek elején is népszerű számolást megkönnyítő segédeszköz volt az un. logarléc, amelyet elsősorban a műszaki szakemberek használtak. Az első logarlécet 1624-ben Edmund Günter találta fel. Ezt a logaritmus azonosságain alapuló segédeszközt mára már a számológépek (kalkulátorok), és számítógépek kiszorították a használatból.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.