A hatványozásra vonatkozó azonosságok és a logaritmus definíciójából következik, hogy a logaritmussal végzett műveleteknél is vannak olyan azonosságok, amelyek megkönnyítik a logaritmus alkalmazását.
Az alábbiakban öt azonosságot és azok bizonyítását láthatjuk.
Az azonosságok bizonyításánál fel fogjuk használni a logaritmus definícióját valamint a hatványozásra vonatkozó azonosságokat.
A leggyakrabban alkalmazott azonosságok:
1. \( log_{a}(x·y)=log_{a}{x}+log_{a}{y} \)
2. \( log_{a}\left( \frac{x}{y} \right) =log_{a}x-log_{a}y \)
3. \( log_{a}x^k=k·log_{a}x \)
A következő két azonosság használatára ritkábban van szükség:
4. \( log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a} \)
5. \( a^{log_{b}c}=c^{log_{b}a} \)
1. Az első azonosság azt mondja ki, hogy egy szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanazon alapú logaritmusának összegével.
Formulával: \( log_{a}(x·y)=log_{a}{x}+log_{a}{y} \)
Feltételek: a, x, y ∈ℝ+, a≠1. Azaz a, x, y pozitív valós számok, a nem lehet 1.
Bizonyítás:
A logaritmus definíciója szerint minden pozitív valós szám felírható a logaritmus segítségével hatvány alakba következő módon: \(b= a^{log_{a}b} \), ahol a, b ∈ℝ+, a≠1.
Írjuk fel az állításban szereplő x, y pozitív valós számokat és az xy szorzatot a logaritmus definíciója szerint hatvány alakban!
\( x=a^{log_{a}x} \), \( y=a^{log_{a}y} \) illetve \( x·y=a^{log_{a}x·y} \)
Szorozzuk össze az x és az y változókat ebben az alakjukban!
\( x·y=a^{log_{a}x}·a^{log_{a}y}=a^{log_{a}x+log_{a}y} \).
Ebben a lépésben felhasználtuk azt a hatványozás azonosságot, hogy azonos alapú hatványok szorzásakor a közös alapot a kitevők összegére emelhetjük.
Másrészt az xy szorzatot felírtuk a logaritmus definíciója segítségével is: \( x·y=a^{log_{a}x·y} \)
Ez azt jelenti, hogy \( a^{log_{a}x+log_{a}y}=a^{log_{a}x·y} \). Mivel ugyanazon a pozitív valós számok hatványai csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők egyenlők, ezért:
\( log_{a}(x·y)=log_{a}{x}+log_{a}{y} \)
Ezt kellett bizonyítani.
2. A második azonosság azt mondja ki, hogy egy tört logaritmusa egyenlő a számláló és a nevező ugyanazon alapú logaritmusának különbségével.
Formulával: \( log_{a}\left( \frac{x}{y} \right) =log_{a}x-log_{a}y \)
Feltételek: a, x, y ∈ℝ+, a≠1. Azaz a, x, y pozitív valós számok, és a nem lehet 1.
Bizonyítás:
A logaritmus definíciója szerint minden pozitív valós szám felírható a logaritmus segítségével hatvány alakba következő módon: \(b= a^{log_{a}b} \), ahol a, b ∈ℝ+, a≠1.
Írjuk fel az állításban szereplő x, y pozitív valós számokat és az xy szorzatot a logaritmus definíciója szerint hatvány alakban!
\( x=a^{log_{a}x} \), \( y=a^{log_{a}y} \) illetve \( \frac{x}{y}=a^{log_{a}\frac{x}{y}} \).
Írjuk fel az \( \frac{x}{y} \) hányadost ebben a hatványkitevős alakjukban is!
\( \frac{x}{y}=\frac{a^{log_{a}x}}{a^{log_{a}y}}=a^{log_{a}x-log_{a}y} \)
Ebben a lépésben felhasználtuk azt a hatványozás azonosságot, hogy azonos alapú hatványok osztásakor a közös alapot a kitevők különbségére emeljük.
Másrészt az \( \frac{x}{y} \) hányadost felírtuk a logaritmus definíciója segítségével is: \( \frac{x}{y}=a^{log_{a}\frac{x}{y}} \). Ezt azt jelenti, hogy \( a^{log_{a}x-log_{a}y}=a^{log_{a}\frac{x}{y}} \)
Mivel ugyanazon a pozitív valós számok hatványai csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők egyenlők, ezért:
\( log_{a}\left( \frac{x}{y} \right) =log_{a}x-log_{a}y \)
Ezt kellett bizonyítani.
3. A harmadik azonosság szerint egy hatvány logaritmusa egyenlő az alap ugyanezen alapú logaritmusának és a hatványkitevőnek a szorzatával.
Formulával: logaxk=k⋅logax.
Feltételek: a, x ∈ℝ+, a≠1, k∈ℝ. Azaz a és x pozitív valós számok, a nem lehet 1, k pedig tetszőleges valós szám lehet.
Bizonyítás:
A logaritmus definíciója szerint minden pozitív valós szám felírható a logaritmus segítségével hatvány alakba következő módon: \(b= a^{log_{a}b} \), ahol a, b ∈ℝ+, a≠1.
Írjuk fel az állításban szereplő x pozitív valós számot és az xk hatványt a logaritmus definíciója szerint: \( x=a^{log_{a}x} \), illetve \( x^{k}=a^{log_{a}x^k} \)formában.
Emeljük most fel x hatványkitevős alakját a k-adik hatványra!
\( x^{k}=\left(a^{log_{a}x} \right)^k=a^{k·log_{a}x} \)
Az utolsó lépésnél felhasználtuk a hatvány hatványozásra vonatkozó azonosságot, miszerint hatvány hatványozásánál a kitevők összeszorzódnak.
Ez azt jelenti, hogy \( a^{log_{a}x^k}=a^{k·log_{a}x} \).
Mivel ugyanazon a pozitív valós számok hatványai csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők egyenlők, ezért:
logaxk=k⋅logax.
Ezt kellett bizonyítani.
Megjegyzés: Amennyire jól használhatók a logaritmus azonosságai a szorzás, osztás és hatványozás műveleteinél, annyira tehetetlen a logaritmus az összeggel illetve különbséggel szemben.
Feladat az első három azonosság alkalmazására.
Számítsa ki a következő kifejezés pontos értékét!
3⋅log36+log335-log320-log342.
(Összefoglaló feladatgyűjtemény 467. feladat.)
Megoldás:
Az első tag együtthatóját a harmadik azonosság alkalmazásával vigyük fel kitevőbe, az utolsó két tagot pedig tegyük zárójelbe:
log363 +log335-(log320+log342)
Az első azonosság segítségével kapjuk: log3(63 ⋅35)-(log3(20⋅42).
A második azonosság szerint a különbség tört alakba írható: \( log_{3}\frac{6^{3}·35}{20·42} \).
Írjuk fel a törtben szereplő egész számokat prímtényezős alakba: \( log_{3}\frac{2^{3}·3^{3}·7·5}{2^{2}·5·7·2·3} \).
Elvégezve a lehetséges egyszerűsítéseket kapjuk: log332
A logaritmus definíciója szerint: log332=2.
4. A negyedik azonosság segítségével tudunk egy adott alapú logaritmusról áttérni egy új logaritmus alapra.
Formulával: \( log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a} \).
Feltételek: a, b, c ∈ℝ+, a≠1, c≠1. Azaz a, b, c pozitív valós számok, a és c nem lehet 1.
Bizonyítás:
A logaritmus definíciója szerint minden pozitív valós szám felírható a logaritmus segítségével hatvány alakba következő módon: \(b= a^{log_{a}b} \), ahol a, b ∈ℝ+, a≠1.
Az állításban szereplő két változót („a”, és „b”) írjuk fel a következő módokon:
1) \(b= a^{log_{a}b} \), 2) \(b= c^{log_{c}b} \), 3) \(a= c^{log_{c}a} \).
Az 1) kifejezésben a hatvány alapjába, az „a” helyére helyettesítsük be a 3.) kifejezést:
\( \left( c^{log_{c}a} \right)^{log_{a}b}=b \).
A hatványozás azonossága szerint:
\( c^{log_{c}a·log_{a}b}=b \).
De a „b”-t is felírtuk a 2.) kifejezésben „c” hatványként:
\(b= c^{log_{c}b} \).
Így a két kifejezés egyenlő:
\( c^{log_{c}a·log_{a}b}=c^{log_{c}b} \).
Mivel a hatványalapok egyenlők, ezért a hatványkifejezések csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők is egyenlők. Ezért:
\( log_{c}a·log_{a}b=log_{c}b \).
Ez a fenti állítás szorzat alakja. Most logca-val átosztva kapjuk:
\( log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a} \).
Ezt kellett bizonyítani.
Feladat a negyedik azonosság alkalmazására.
Fejezze ki y-t b, c, d segítségével, ha
\( log_{b}y=3·\left( log_{b}c-log_{b^{2}}d \right) \)
(Összefoglaló feladatgyűjtemény 475. feladat.)
Megoldás:
Bontsuk fel a zárójelet, a zárójel előtt együtthatót a 3. azonosság alkalmazásával vigyük fel a kitevőbe:
\( log_{b}y=log_{b}c^{3}-log_{b^{2}}d^{3} \).
A negyedik azonosság segítségével hozzuk azonos alapra a kifejezésben szereplő logaritmusokat:
\( log_{b}y=log_{b}c^{3}-\frac{log_{b}d^{3}}{log_{b}b^{2}} \).
De az utolsó tagban a nevező a logaritmus definíciója szerint: \( log_{b}b^{2}=2 \).
Így: \( log_{b}y=log_{b}c^{3}-\frac{1}{2}·log_{b}b^{3} \).
Az utolsó tagban az együtthatót a 4. azonosság alkalmazásával felvihetjük a kitevőbe:
\( log_{b}y=log_{b}c^{3}-log_{b}b^{\frac{3}{2}} \).
A második azonosság szerint:
\( log_{b}y=log_{b}\frac{c^{3}}{d^{\frac{3}{2}}} \).
Mivel az egyenlőség mindkét oldala ugyanazon alapú logaritmus kifejezése, ezért a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha mindkét oldalon a logaritmus mögötti kifejezések is egyenlők:
\( y=\frac{c^{3}}{d^{\frac{3}{2}}} \).
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.