Logaritmus azonosságai

A hatványozásra vonatkozó azonosságok és a logaritmus definíciójából következik, hogy a logaritmussal végzett műveleteknél is vannak olyan azonosságok, amelyek megkönnyítik a logaritmus alkalmazását.

Az alábbiakban öt azonosságot és azok bizonyítását láthatjuk.
Az azonosságok bizonyításánál fel fogjuk használni a logaritmus definícióját valamint a hatványozásra vonatkozó azonosságokat.

A leggyakrabban alkalmazott azonosságok:

1. ​\( log_{a}(x·y)=log_{a}{x}+log_{a}{y} \)
2.  ​\( log_{a}\left( \frac{x}{y} \right) =log_{a}x-log_{a}y \)
3. ​\( log_{a}x^k=k·log_{a}x \)

A következő két azonosság használatára ritkábban van szükség:

4. ​ ​\( log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a} \)
5. ​ ​​\( a^{log_{b}c}=c^{log_{b}a} \)

1.  Az első azonosság azt mondja ki, hogy egy szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanazon alapú logaritmusának összegével.

Formulával: ​\( log_{a}(x·y)=log_{a}{x}+log_{a}{y} \)

Feltételek: a, x, y ∈ℝ+, a≠1. Azaz a, x, y pozitív valós számok, a nem lehet 1.

Bizonyítás:

A logaritmus definíciója szerint minden pozitív valós szám felírható a logaritmus segítségével hatvány alakba következő módon: ​\(b= a^{log_{a}b} \)​, ahol a, b ∈ℝ+, a≠1.

Írjuk fel az állításban szereplő x, y pozitív valós számokat és az xy szorzatot a logaritmus definíciója szerint hatvány alakban!
\( x=a^{log_{a}x} \)​, ​\( y=a^{log_{a}y} \)​ illetve ​\( x·y=a^{log_{a}x·y} \)

Szorozzuk össze az x és az y változókat ebben az alakjukban!
\( x·y=a^{log_{a}x}·a^{log_{a}y}=a^{log_{a}x+log_{a}y} \).
Ebben a lépésben felhasználtuk azt a hatványozás azonosságot, hogy azonos alapú hatványok szorzásakor a közös alapot a kitevők összegére emelhetjük.
Másrészt az xy szorzatot felírtuk a logaritmus definíciója segítségével is: \( x·y=a^{log_{a}x·y} \)

Ez azt jelenti, hogy ​\( a^{log_{a}x+log_{a}y}=a^{log_{a}x·y} \)​. Mivel ugyanazon a pozitív valós számok hatványai csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők egyenlők, ezért:

 \( log_{a}(x·y)=log_{a}{x}+log_{a}{y} \)

Ezt kellett bizonyítani.

2. A második azonosság azt mondja ki, hogy egy tört logaritmusa egyenlő a számláló és a nevező ugyanazon alapú logaritmusának különbségével.

Formulával:  \( log_{a}\left( \frac{x}{y} \right) =log_{a}x-log_{a}y \)

Feltételek: a, x, y ∈ℝ+, a≠1. Azaz a, x, y pozitív valós számok,  és a nem lehet 1.

Bizonyítás:

A logaritmus definíciója szerint minden pozitív valós szám felírható a logaritmus segítségével hatvány alakba következő módon: ​\(b= a^{log_{a}b} \)​, ahol a, b ∈ℝ+, a≠1.

Írjuk fel az állításban szereplő x, y pozitív valós számokat és az xy szorzatot a logaritmus definíciója szerint hatvány alakban!
\( x=a^{log_{a}x} \)​, ​\( y=a^{log_{a}y} \)​ illetve ​​\( \frac{x}{y}=a^{log_{a}\frac{x}{y}} \)​.

Írjuk fel az ​\( \frac{x}{y} \) hányadost ebben a hatványkitevős alakjukban is!
\( \frac{x}{y}=\frac{a^{log_{a}x}}{a^{log_{a}y}}=a^{log_{a}x-log_{a}y} \)
Ebben a lépésben felhasználtuk azt a hatványozás azonosságot, hogy azonos alapú hatványok osztásakor a közös alapot a kitevők különbségére emeljük.

Másrészt az \( \frac{x}{y} \) hányadost felírtuk a logaritmus definíciója segítségével is: \( \frac{x}{y}=a^{log_{a}\frac{x}{y}} \). Ezt azt jelenti, hogy ​\( a^{log_{a}x-log_{a}y}=a^{log_{a}\frac{x}{y}} \)
Mivel ugyanazon a pozitív valós számok hatványai csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők egyenlők, ezért:

\( log_{a}\left( \frac{x}{y} \right) =log_{a}x-log_{a}y \)

Ezt kellett bizonyítani.

3. A harmadik azonosság szerint egy hatvány logaritmusa egyenlő az alap ugyanezen alapú logaritmusának és a hatványkitevőnek a szorzatával.

Formulával: logaxk=k⋅logax.

Feltételek: a, x ∈ℝ+, a≠1, k∈ℝ. Azaz a és x pozitív valós számok, a nem lehet 1, k pedig tetszőleges valós szám lehet.

Bizonyítás:

A logaritmus definíciója szerint minden pozitív valós szám felírható a logaritmus segítségével hatvány alakba következő módon: ​\(b= a^{log_{a}b} \)​, ahol a, b ∈ℝ+, a≠1.

Írjuk fel az állításban szereplő x pozitív valós számot és az xk hatványt a logaritmus definíciója szerint: ​\( x=a^{log_{a}x} \)​, illetve ​\( x^{k}=a^{log_{a}x^k} \)​formában.

Emeljük most fel x hatványkitevős alakját a k-adik hatványra!
\( x^{k}=\left(a^{log_{a}x} \right)^k=a^{k·log_{a}x} \)

Az utolsó lépésnél felhasználtuk a hatvány hatványozásra vonatkozó azonosságot, miszerint hatvány hatványozásánál a kitevők összeszorzódnak.
Ez azt jelenti, hogy ​\( a^{log_{a}x^k}=a^{k·log_{a}x} \)​.

Mivel ugyanazon a pozitív valós számok hatványai csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők egyenlők, ezért:

logaxk=k⋅logax.

Ezt kellett bizonyítani.

Megjegyzés: Amennyire jól használhatók a logaritmus azonosságai a szorzás, osztás és hatványozás műveleteinél, annyira tehetetlen a logaritmus az összeggel illetve különbséggel szemben.

Feladat az első három azonosság alkalmazására.

Számítsa ki a következő kifejezés pontos értékét!

3⋅log36+log335-log320-log342.

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 467. feladat.)

Megoldás:

Az első tag együtthatóját a harmadik azonosság alkalmazásával vigyük fel kitevőbe, az utolsó két tagot pedig tegyük zárójelbe:

log36+log335-(log320+log342)

Az első azonosság segítségével kapjuk: log3(6⋅35)-(log3(20⋅42).

A második azonosság  szerint a különbség tört alakba írható: \( log_{3}\frac{6^{3}·35}{20·42} \)​.

Írjuk fel a törtben szereplő egész számokat prímtényezős alakba:  ​\( log_{3}\frac{2^{3}·3^{3}·7·5}{2^{2}·5·7·2·3} \)​.

Elvégezve a lehetséges egyszerűsítéseket kapjuk: log332

A logaritmus definíciója szerint: log332=2.

4.  A negyedik azonosság segítségével tudunk egy adott alapú logaritmusról áttérni egy új logaritmus alapra.

Formulával: ​ ​\( log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a} \).

Feltételek: a, b, c ∈ℝ+, a≠1, c≠1. Azaz a, b, c pozitív valós számok, a és c nem lehet 1.

Bizonyítás:

A logaritmus definíciója szerint minden pozitív valós szám felírható a logaritmus segítségével hatvány alakba következő módon: ​\(b= a^{log_{a}b} \)​, ahol a, b ∈ℝ+, a≠1.

Az állításban szereplő két változót („a”, és „b”) írjuk fel a következő módokon:

1) \(b= a^{log_{a}b} \)​,  2) \(b= c^{log_{c}b} \)​,  3) \(a= c^{log_{c}a} \)​.

Az 1) kifejezésben a hatvány alapjába, az „a” helyére helyettesítsük be a 3.) kifejezést:

\( \left( c^{log_{c}a} \right)^{log_{a}b}=b \)​.

A hatványozás azonossága szerint:

\( c^{log_{c}a·log_{a}b}=b \)​.

De a „b”-t is felírtuk a 2.) kifejezésben „c” hatványként:

\(b= c^{log_{c}b} \)​.

Így a két kifejezés egyenlő:

\( c^{log_{c}a·log_{a}b}=c^{log_{c}b} \)​.

Mivel a hatványalapok egyenlők, ezért a hatványkifejezések csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők is egyenlők. Ezért:

\( log_{c}a·log_{a}b=log_{c}b \).

Ez a fenti állítás szorzat alakja. Most logca-val átosztva kapjuk:

\( log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a} \).

Ezt kellett bizonyítani.

Feladat a negyedik azonosság alkalmazására.

Fejezze ki y-t b, c, d segítségével, ha

\( log_{b}y=3·\left( log_{b}c-log_{b^{2}}d \right) \)

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 475. feladat.)

Megoldás:

Bontsuk fel a zárójelet, a zárójel előtt együtthatót a 3. azonosság alkalmazásával vigyük fel a kitevőbe:

\( log_{b}y=log_{b}c^{3}-log_{b^{2}}d^{3} \)​.

A negyedik azonosság segítségével hozzuk azonos alapra a kifejezésben szereplő logaritmusokat:

\( log_{b}y=log_{b}c^{3}-\frac{log_{b}d^{3}}{log_{b}b^{2}} \)​.

De az utolsó tagban a nevező a logaritmus definíciója szerint: ​\( log_{b}b^{2}=2 \)​.

Így: ​\( log_{b}y=log_{b}c^{3}-\frac{1}{2}·log_{b}b^{3} \)​.

Az utolsó tagban az együtthatót a 4. azonosság alkalmazásával felvihetjük a kitevőbe:

\( log_{b}y=log_{b}c^{3}-log_{b}b^{\frac{3}{2}} \)​.

A második azonosság szerint:

\( log_{b}y=log_{b}\frac{c^{3}}{d^{\frac{3}{2}}} \)​.

Mivel az egyenlőség mindkét oldala ugyanazon alapú logaritmus kifejezése, ezért a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha mindkét oldalon a logaritmus mögötti kifejezések is egyenlők:

\( y=\frac{c^{3}}{d^{\frac{3}{2}}} \)​.

 

 

 

 

 

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.