Kör négyszögesítése

Mit is jelent ez?

Már az ókori matematikusokat (Például Arkhimédész, Hippokratész, Eratoszthenész) izgatta az a kérdés, hogyan lehet egy adott kör területével egyenlő területű négyszöget szerkeszteni.

Az, hogy egy adott körrel egyező területű négyzetnek lennie kell, elég könnyen belátható. Szerkesszünk az adott r sugarú körbe beírt és köréírt négyzetet. A beleírt négyzet területe kisebb, a köréírt négyzet területe pedig nagyobb, mint a kör területe.
Azaz:  ​\( b^{2}<t_{kör}<k^{2} \)​

A beírt négyzet oldalát folyamatosan növelve, vagy a köré írt oldalát csökkentve kell legyen egy olyan állapot, amikor a négyzet területe éppen a kör területével egyezik meg.  ​\( a^{2}=t_{kör}=r^{2} π \)

Nézzük a fenti egyenletet: a² =r²⋅π. Ebből négyzetgyökvonás után kapjuk, hogy ​\( a=r·\sqrt{ π } \)​.
Ez pontosan azt jelenti, hogy adott szakasz (egység) esetén a π négyzetgyökét kellene megszerkeszteni. Persze a π szerkesztése is elegendő lenne, hiszen a negyedik arányos segítségével a négyzetgyökét is elő tudnánk állítani.

Ma már tudjuk (a XIX. század végétől), hogy euklideszi módon a π nem szerkeszthető, tehát nem szerkeszthető ilyen módon olyan négyzet, négyszög sem, amelynek a területe egy adott kör területével lenne egyenlő.

Hippokratész holdjai nagyszerű példája annak, hogy lehetséges egy adott sokszöggel (itt a derékszögű háromszöggel) egyenlő területű, de görbe vonalakkal határolt síkidomot szerkeszteni. Itt a két hold területének az összege éppen a háromszög területével egyenlő.

Bár euklideszi módon nem lehet a kör négyszögesítését megoldani, több jó közelítő szerkesztési eljárás is született a π szerkesztésére.