Hippokratész holdjai

Hippokratész ókori görög matematikus sokat foglalkozott körívek és egyenesek által határolt síkidomok területének meghatározásával. A most következő példa, Hippokratész “holdacskái” egy konkrét példa arra, hogy görbe vonalakkal határolt síkidom adott esetben és adott értelemben négyszögesíthető.

Hippokratész

Feladat:

Az ábrán lévő holdacskákat a derékszögű háromszög oldalai fölé szerkesztett félkörök határolják. Bizonyítsuk be, hogy a holdacskák területének összege a háromszög területével egyenlő.

 Ez a feladat a középiskolákban rendszeresített “Geometriai feladatok gyűjteménye I.” kötetében szerepel az 1523. számon.

Megoldás:

A holdak területét megkapjuk, ha a befogók fölé emelt félkörök területéből kivonjuk azoknak a körszeleteknek a területét, amelyeket úgy kapunk, hogy az átfogó fölé emelt félkör területéből kivonjuk a háromszög területét.

Formulával: Jelöljük a derékszögű háromszög befogóit “a” és “b“, az átfogót pedig “c” változóval.
Ekkor a derékszögű háromszög területe: ​\( \frac{ab}{2} \), a befogók fölé emelt félkörök területe: ​\( =\frac{\left(\frac{a}{2} \right)^{2}}{2}·π =\frac{a^{2}}{8}· π \) és  ​\( =\frac{\left(\frac{b}{2} \right)^{2}}{2}·π =\frac{b^{2}}{8}· π \)​. Az átfogó fölé emelt félkör területe: ​ ​\( =\frac{\left(\frac{c}{2} \right)^{2}}{2}·π =\frac{c^{2}}{8}· π \)​.
Így a körszeletek területe: ​\( \frac{c^{2}}{8}· π-\frac{a·b}{2} \)​.

Holdak területét tehát megkapjuk, ha befogók fölé emelt félkörök területeinek összegéből kivonjuk a körszeletek területét.
Azaz a holdacskák területe: ​\( \frac{a^{2}}{8}· π+\frac{b^{2}}{8}· π-\left [\frac{c^{2}}{8}· π-\frac{a·b}{2} \right ] \)​.

 Zárójel felbontása után: ​​​​​\( \frac{a^{2} π }{8}+\frac{b^{2} π }{8}-\frac{c^{2} π }{8}+\frac{ab }{2} \)​.

Emeljük ki ​\( \frac{ π }{8} \)​-t az első három tagból: ​\( \frac{ π }{8}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)+\frac{ab}{2} \)​.

A zárójelben szereplő kifejezés Pitagorasz tétele értelmében nullával egyenlő, ezért a holdacskák területe = ​\( \frac{ab}{2} \).

És ezt kellett igazolni.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.