Számóriások és számtörpék

​Az embereket mindig izgatták a gigantikus, vagy éppen nagyon pici számok, méretek. Gondoljunk csak a mesék óriásaira, törpéire, Liliputra.

Számóriások

A középiskolában rendszeresen használt Matematikai Feladatgyűjtemény I. kötet II. fejezetének 1. feladata a következőképpen szól:

Írjuk fel a három darab
a) kettes
b) hármas
c) ötös
segítségével megalkotható legnagyobb természetes számot!

A megoldás igazán nem nehéz, de itt most csak a végeredményt találod:

a) 2²²= 4 194 304
b) 3³³ = 5 559 060 566 555 520≈ 5,56⋅10¹⁵.
c) ​\( 5^{5^{5}} \)​= ​\( \left( 5 \right) ^{5^{5}} \)​= 5³¹²⁵. De ennek a számnak a kijelzésére már nem alkalmas a legtöbb kalkulátor sem.

Megjegyzés:

Az ​​\( a^{b^{c}} \)​ lánchatványok kiszámítása a műveleti sorrendnek megfelelően felülről lefelé történik.
Például: \( 2^{3^{2}} \)​=\((2)^{3^{2}}=2^{9}=512 \). 

Viszont általában \( a^{b^{c}} \)​≠\((a^{b})^{c}\), hiszen b^c≠b⋅c. Kivéve például, ha b=c=2.
Például: \( 2^{3^{2}}=2^{9}=512\), de \((2^{3})^{2}=8^{2}=64 \).

Ha a feladatot megtoldjuk, és felírjuk a három darab kilencessel megalkotható legnagyobb számot, akkor csodálkozunk csak el a szám méretén:

​\( 9^{9^{9}} \)​=\( \left( 9 \right) ^{9^{9}} \)​= 9^387420489. Ez a szám 369 693 061 darab számjegyből áll.

De gigantikus méretű számokkal máskor is találkozhatunk. A matematikusok egyre nagyobb prímszámokra, és egyre nagyobb tökéletes számokra „vadásznak”. Az eddig (meddig?) ismert legnagyobb tökéletes szám a 2^{30 402 456} (2^{30 402 457} – 1) ,  az eddig (?) ismert legnagyobb prímszám  2^{74 207 281}-1   alakban írható fel a legrövidebben- Ez utóbbi szám kiírva 22 millió 338 618 db. számjegyből áll.

A nagyon nagy illetve a nagyon kicsi számok írására a normálalak a legalkalmasabb. Itt a 10 megfelelő hatványainak a segítségével fejezzük ki a számokat. Megszoktuk, hogy bizonyos nagy számoknak, 10 hatványainak nevük is van. Millió, milliárd, billió és a többi.

A hétköznapi életben a fentieknél csak jóval kisebb számok fordulnak elő, amelyek azonban így is meglehetősen nagyok. Ha egy emberi hajszálat egymilliószorosára növelnénk, 70 m átmérőjű lenne, de ugyanakkor a millió olyan törpe a billióhoz képest, mint az egy a millióhoz képest.

A testünket alkotó atomok száma 10²⁸ és 10²⁹ közé esik. Az emberi szív átlagosan 70-t dobban percenként, egy év alatt 3,6792⋅10⁷-t dobban. (36 792 000).

Egy millió másodperc nem egészen két hét időtartam, de egy billió másodperc már több mint 30000 év! Ennyit az egymás közötti arányokhoz.

Persze, ilyen nagy számokkal, méretekkel ritkán találkozunk a természetben. Elsősorban csillagászati méretekben fordulnak elő.

Arkhimédész valamikor megpróbálta kiszámítani, hány homokszem férne el a világban, ha az egész Világegyetem a legfinomabb homokkal volna kitöltve. Arkhimédész úgy találta, hogy a homokszemek száma legfeljebb 10⁶³ darab lehet.

A világegyetemünk életkora körülbelül 1,38⋅10¹⁰ év, hiszen a jelenleg elfogadott kozmológiai elmélet szerint az univerzum egy ősrobbanás (a „Nagy-Bumm”) révén keletkezett nem több, mint 14 milliárd évvel ezelőtt.
A megfigyelhető univerzum tömege a becslések szerint valamivel több, mint 3⋅10⁵² kilogramm.
Galaxisok becsült száma: 2⋅10¹² (2 billió).

Az Androméda és a Tejútrendszer távolsága: 2⋅10⁶ fényév.
Ez körülbelül 1,9⋅ 10¹⁹ km.
Egy fényév: 9,45⋅10¹² km. Ekkora utat tesz meg a fény egy év alatt.
A fény terjedési sebessége 3⋅10⁵ km/másodperc.
(300 000 km/s)

Galaxisunk, a Tejútrendszer kb. 10¹¹ db. csillagból áll. (100 milliárd csillag).

Naprendszerünk életkora: 4,6⋅10⁹ év. (4,6 milliárd év).
Napot és a bolygókat, valamint ezek tömeg adatait láthatod most itt (kilogrammban)

Nap	Merkúr	Vénusz	Föld	Mars	Jupiter	Saturnus	Uranus	Neptunus	Plútó
2⋅1030	3,3⋅1023	4,9⋅ 1024	6⋅ 1024	6,4⋅ 1023	1,9⋅1027	5,7⋅1026	8,7⋅ 1025	1026	1,5⋅ 1022

A Föld egyenlítőjének a hosszát használták fel a méter meghatározására. A méter a Föld egyenlítőjének 40 milliomod része, az egyenlítő hossza 4⋅10⁷ m.

Földünk sugara 6378,388 km.
Élet a Földön kb. 10⁹  éve, azaz 1 milliárd éve létezik.
1990-es adatok szerint Földünk népessége 5,292⋅10⁹ , azaz 5 milliárd 292 millió fő volt. Jelenleg 7,6 milliárdnál is többen élünk a Földön.

Számtörpék

Az Univerzum átlagsűrűsége kb.  2⋅10^-29 gramm/cm³. (1 cm³-ben lévő anyag mennyisége). Elképesztően ritka! Igazán kis mennyiségekkel azonban elsősorban a mikrovilágban találkozhatunk.

Az anyag elemi építőkövei az atomok, amelyek atommagból és a körülöttük keringő elektronokból állnak.
Az atommagban található a proton és a neutron.
A proton tömege: 1,67⋅10^-27 kilogramm.
A neutron tömege: 1,675⋅10^-27 kilogramm.
Az elektron tömege: 9,10953⋅10^-31 kilogramm.
Az elektron átmérője: 10^-13 cm.
Az elektron töltése: 1,6⋅10^-19 coulomb

Tekintsük a következő felsorolást:

elektron;
atom;
porszem;
ház;
Föld;
Naprendszer;
Föld és Sarkcsillag távolsága;
Tejútrendszer.

Ennek a felsorolásnak minden tagja körülbelül negyedmilliószor akkora (hosszanti méretét tekintve), mint az előző.

„Mert mi az ember a természetben?
Semmi a végtelenhez képest, minden a semmihez képest, valami a semmi és a minden közt….
Két végtelen közé szorítva élünk, ez a mi világunk…”

Pascal: Gondolatok.