Matematikai Feladatgyűjtemény I kötet II. fejezetének 1. feladata

​A középiskolában rendszeresen használt Matematikai Feladatgyűjtemény I kötet II. fejezetének 1. feladata a következőképpen szól:

Írjuk fel a három darab
a) kettes
b) hármas
c) ötös
segítségével megalkotható legnagyobb természetes számot!

Érdemes próbálkozni, tanulságos áttekinteni a lehetőségeket.

a) Három darab kettes esetén:

Helyi értékes írással: 222.
Összeadással: 2+2+2=6. 
Szorzással:  2⋅2⋅2=8;  2⋅22=44.
Persze, hamar rá kell jönnünk, hogy a hatványozás a legerősebb eszköz:
22²=484;  
2²²=4 194 304;
​​\( {2^2}^{2}={2^4}=16 \)​.
\( \left(2^{2} \right) ^{2}=4^{2}=16 \)​.

Azt kaptuk tehát, hogy a három darab kettessel alkotható legnagyobb szám: 2²²=4 194 304.

b) Hasonló eredményt kapunk-e három darab 3-as esetén? 
Kezdjük mindjárt a hatványozással. Nézzük a lehetőségeket!

33³=35937.
3³³ = 5 559 060 566 555 520≈ 5,56⋅10¹⁵. 
​\( \left( 3^3 \right) ^3=27^3=19683 \)​.
​\( 3^{3^{3}} \)​= ​\( \left( 3 \right) ^{3^{3}} \)​=3²⁷ ≈ 7,63⋅10¹².

A három darab hármassal megalkotható legnagyobb szám tehát: 3³³ = 5 559 060 566 555 520≈ 5,56⋅10¹⁵. 

c) A három darab ötösnél azonban már más a helyzet! 

55⁵=503 284 375;.
5⁵⁵≈2,77556⋅10³⁸. 
​\( 5^{5^{5}} \)​= ​\( \left( 5 \right) ^{5^{5}} \)= 5³¹²⁵.

A három darab ötössel megalkotható legnagyobb szám tehát: ​\( 5^{5^{5}} \)​= ​\( \left( 5 \right) ^{5^{5}} \)​= 5³¹²⁵.  Ez a szám nagyobb, mint 10¹⁰⁰ , ezért ennek a számnak a kijelzésére már nem alkalmas a legtöbb kalkulátor sem. 

Ha a feladatot megtoldjuk, és felírjuk a három darab kilencessel megalkotható legnagyobb számot, akkor csodálkozunk csak el a szám méretén: ​\( 9^{9^{9}} \)​=\( \left( 9 \right) ^{9^{9}} \)​= 9^387420489.  Ez a szám 369 693 061 darab számjegyből áll.

Megjegyzés:

Az ​​\( a^{b^{c}} \)​ lánchatványok kiszámítása a műveleti sorrendnek megfelelően felülről lefelé történik. 
Például: \( 2^{3^{2}} \)​=\((2)^{3^{2}}=2^{9}=512 \). 

Viszont általában \( a^{b^{c}} \)​≠\((a^{b})^{c}\), hiszen b^c≠b⋅c. Kivéve például, ha b=c=2.
Például: \( 2^{3^{2}}=2^{9}=512\), de \((2^{3})^{2}=8^{2}=64 \).