Számóriások és számtörpék

​Az embereket mindig izgatták a gigantikus, vagy éppen nagyon pici számok, méretek. Gondoljunk csak a mesék óriásaira, törpéire, Liliputra.

Számóriások

A középiskolában rendszeresen használt Matematikai Feladatgyűjtemény I. kötet II. fejezetének 1. feladata a következőképpen szól:

Írjuk fel a három darab
a) kettes
b) hármas
c) ötös
segítségével megalkotható legnagyobb természetes számot!

A megoldás igazán nem nehéz, de itt most csak a végeredményt találod:

a) 222= 4 194 304
b) 333 = 5 559 060 566 555 520≈ 5,56⋅1015.
c) ​\( 5^{5^{5}} \)​= ​\( \left( 5 \right) ^{5^{5}} \)​= 53125. De ennek a számnak a kijelzésére már nem alkalmas a legtöbb kalkulátor sem.

Megjegyzés:

Az ​​\( a^{b^{c}} \)​ lánchatványok kiszámítása a műveleti sorrendnek megfelelően felülről lefelé történik.
Például: \( 2^{3^{2}} \)​=\((2)^{3^{2}}=2^{9}=512 \). 

Viszont általában \( a^{b^{c}} \)​≠\((a^{b})^{c}\), hiszen bc≠b⋅c. Kivéve például, ha b=c=2.
Például: \( 2^{3^{2}}=2^{9}=512\), de \((2^{3})^{2}=8^{2}=64 \).

Ha a feladatot megtoldjuk, és felírjuk a három darab kilencessel megalkotható legnagyobb számot, akkor csodálkozunk csak el a szám méretén:

\( 9^{9^{9}} \)​=\( \left( 9 \right) ^{9^{9}} \)​= 9387420489. Ez a szám 369 693 061 darab számjegyből áll.

De gigantikus méretű számokkal máskor is találkozhatunk. A matematikusok egyre nagyobb prímszámokra, és egyre nagyobb tökéletes számokra “vadásznak”. Az eddig (meddig?) ismert legnagyobb tökéletes szám a 230 402 456 (230 402 457 – 1) ,  az eddig (?) ismert legnagyobb prímszám  274 207 281-1   alakban írható fel a legrövidebben- Ez utóbbi szám kiírva 22 millió 338 618 db. számjegyből áll.

A nagyon nagy illetve a nagyon kicsi számok írására a normálalak a legalkalmasabb. Itt a 10 megfelelő hatványainak a segítségével fejezzük ki a számokat. Megszoktuk, hogy bizonyos nagy számoknak, 10 hatványainak nevük is van. Millió, milliárd, billió és a többi.

A hétköznapi életben a fentieknél csak jóval kisebb számok fordulnak elő, amelyek azonban így is meglehetősen nagyok. Ha egy emberi hajszálat egymilliószorosára növelnénk, 70 m átmérőjű lenne, de ugyanakkor a millió olyan törpe a billióhoz képest, mint az egy a millióhoz képest.

A testünket alkotó atomok száma 1028 és 1029 közé esik. Az emberi szív átlagosan 70-t dobban percenként, egy év alatt 3,6792⋅107-t dobban. (36 792 000).

Egy millió másodperc nem egészen két hét időtartam, de egy billió másodperc már több mint 30000 év! Ennyit az egymás közötti arányokhoz.

Persze, ilyen nagy számokkal, méretekkel ritkán találkozunk a természetben. Elsősorban csillagászati méretekben fordulnak elő.

Arkhimédész valamikor megpróbálta kiszámítani, hány homokszem férne el a világban, ha az egész Világegyetem a legfinomabb homokkal volna kitöltve. Arkhimédész úgy találta, hogy a homokszemek száma legfeljebb 1063 darab lehet.

A világegyetemünk életkora körülbelül 1,38⋅1010 év, hiszen a jelenleg elfogadott kozmológiai elmélet szerint az univerzum egy ősrobbanás (a “Nagy-Bumm”) révén keletkezett nem több, mint 14 milliárd évvel ezelőtt.
A megfigyelhető univerzum tömege a becslések szerint valamivel több, mint 3⋅1052 kilogramm.
Galaxisok becsült száma: 2⋅1012 (2 billió).

Androméda galaxis

Az Androméda és a Tejútrendszer távolsága: 2⋅106 fényév.
Ez körülbelül 1,9⋅ 1019 km.
Egy fényév: 9,45⋅1012 km. Ekkora utat tesz meg a fény egy év alatt.
A fény terjedési sebessége 3⋅105 km/másodperc.
(300 000 km/s)

Tejút

Galaxisunk, a Tejútrendszer kb. 1011 db. csillagból áll. (100 milliárd csillag).

Naprendszerünk életkora: 4,6⋅109 év. (4,6 milliárd év).
Napot és a bolygókat, valamint ezek tömeg adatait láthatod most itt (kilogrammban)

Nap Merkúr Vénusz Föld Mars Jupiter Saturnus Uranus Neptunus Plútó
2⋅1030 3,3⋅1023 4,9⋅
1024
6⋅
1024
6,4⋅
1023
1,9⋅1027 5,7⋅1026 8,7⋅
1025
1026 1,5⋅
1022

A Föld egyenlítőjének a hosszát használták fel a méter meghatározására. A méter a Föld egyenlítőjének 40 milliomod része, az egyenlítő hossza 4⋅107 m.

Földünk sugara 6378,388 km.
Élet a Földön kb. 109  éve, azaz 1 milliárd éve létezik.
1990-es adatok szerint Földünk népessége 5,292⋅109 , azaz 5 milliárd 292 millió fő volt. Jelenleg 7,6 milliárdnál is többen élünk a Földön.

Számtörpék

Az Univerzum átlagsűrűsége kb.  2⋅10-29 gramm/cm3. (1 cm3-ben lévő anyag mennyisége). Elképesztően ritka! Igazán kis mennyiségekkel azonban elsősorban a mikrovilágban találkozhatunk.

A nátrium atom szerkezete

Az anyag elemi építőkövei az atomok, amelyek atommagból és a körülöttük keringő elektronokból állnak.
Az atommagban található a proton és a neutron.
A proton tömege: 1,67⋅10-27 kilogramm.
A neutron tömege: 1,675⋅10-27 kilogramm.
Az elektron tömege: 9,10953⋅10-31 kilogramm.
Az elektron átmérője: 10-13 cm.
Az elektron töltése: 1,6⋅10-19 coulomb

Tekintsük a következő felsorolást:

elektron;
atom;
porszem;
ház;
Föld;
Naprendszer;
Föld és Sarkcsillag távolsága;
Tejútrendszer.

Ennek a felsorolásnak minden tagja körülbelül negyedmilliószor akkora (hosszanti méretét tekintve), mint az előző.

“Mert mi az ember a természetben?
Semmi a végtelenhez képest, minden a semmihez képest, valami a semmi és a minden közt….
Két végtelen közé szorítva élünk, ez a mi világunk…”

Pascal: Gondolatok.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.