Minden négyzet alapú egyenes gúla két (független) adattal meghatározható.

Ezek lehetnek például: alapél és gúla magasság; alapél és oldalél; alapél és oldalél-alaplap hajlásszöge; stb.

A négyzetalapú gúla hálója

Egy négyzet alapú egyenes gúla oldallapjai egybevágó egyenlőszárú háromszögek. A gúla magassága a gúla csúcsából (E) az alaplapra bocsájtott merőleges talppontja (K) az alaplap (ABCD) négyzet középpontja.

 

A négyzet alapú egyenes gúlák közül talán az egyik legismertebb a gizai nagy piramis, más néven a Kheopsz piramis.  Az ókori világ hét csodája közül ez az  egyetlen, amely még látható.

 

A gizai nagy (Kheopsz) piramis

 

Az ókori világ hét csodája

 

A Kheopsz piramis méretei lenyűgözőek. Ennek négyzet alapú gúlának két meghatározó (eredeti) adata: alapélének hossza: 232.4 méter, magassága: 146.7 méter. (A mai méretek egy kicsit ettől eltérőek:  kb. 230 és 137.5 méter.)
Ebből a két adatból a négyzet alapú gúla, így a piramis többi adata már kiszámolható.

Feladat:

  1. Számítsuk ki a Kheopsz piramist alkotó négyzetalapú gúla  térfogatát és felszínét!
  2. Határozzuk meg az {oldalél – alapél}, az {oldalél – alaplap}, és az {oldallap – alaplap} hajlásszögét!
  3. Számítsuk ki a piramisba, a négyzet alapú gúlába írható gömb sugarát!
  4. Határozzuk meg a négyzet alapú gúla köré írt gömbjének középpontját és sugarát.

Megoldás:

Készítsük el a piramis modelljét! A mellékelt ábrán a=232.4 m és mg=146.7 m.

1.a) gúla térfogatának a kiszámítása nagyon egyszerű. Alapterület szorozva a gúla magasságával és osztva hárommal. Képlettel: ​\( V_{g}=\frac{t_{a}·m_{g}}{3} \)​.

Az alapterület: ​\( t_{a}=232.4^{2}=54 009.76 \; m^{2} \)​.

Így a Kheopsz piramis térfogata: ​\( V_{g}=\frac{54009.76·146.7}{3}=\frac{7923231.792}{3}≈2 \; 641 \; 077 \; m^{3} \)​.

A piramis térfogata  normál alakban tehát: Vg≈ 2.6⋅106 m3. Azaz kb. 2,6 millió köbméter.

1.b A gúla felszíne az alaplap területének (\( t_{a}=232.4^{2}=54 009.76 \; m^{2} \)​)és a 4 darab egybevágó oldallap területének az összege. Azaz: ​\( A_{g}=t_{a}+4·t_{o} \)​. Itt to az oldallap területét jelenti.
Az oldallapok egyenlőszárú háromszögek. A terület meghatározásához előbb számoljuk ki az az oldallap magasságának (mo) hosszát az FKE derékszögű háromszögből Pitagorasz tétellel: ​\( m_{g}^{2}+\left( \frac{a}{2} \right) ^{2}=m_{o}^{2} \)​.

Adatokkal: ​\( m_o=\sqrt{146.7^{2}+116.2^{2}}=\sqrt{21520.89+13502.44}=\sqrt{35023.33}≈187 \; m \)​.

Egy oldallap területe: ​\( t_{o}=\frac{a·m_{o}}{2} \)​. Adatokkal: ​\( t_{o}=\frac{232.4·\sqrt{35023.33}}{2}≈21746.27 \; m^{2} \)​.

Így a gúla felszíne: Ag≈54009.76+4⋅21746.27=54009.76+86985.09≈140 995 m2.

A piramis felszíne normál alakban tehát:  Ag≈ 1.4⋅105 m2.

A gúla oldalélének hossza szintén Pitagorasz tétellel számolható például az FEC derékszögű háromszögből:

\( o≈\sqrt{116.2^{2}+187.14^{2}}≈\sqrt{13502.44+35023.33)}=\sqrt{48525.77}≈220.3 \; m \)​.

2. A hajlásszögek meghatározása. Ezeknek a kiszámításához a hegyesszögek szögfüggvényeinek ismeretére is szükség van. A következőkben a Kheopsz piramisra vonatkozó számítások láthatók.

2.a) Oldalél és alapél hajlásszöge (α).

A BFE derékszögű háromszögben: ​\( tg(α)=\frac{m_{o}}{a/2} \)​. Tehát: ​\( tg(α)≈\frac{187.15}{116.2}≈1.61. \)​. Így α≈ 58.2°.

2.b) Oldalél és alaplap hajlásszöge (β).

A CKE derékszögű háromszögben: ​\( sin(β)=\frac{m_{g}}{o} \).
Tehát: ​\( sin(β)≈\frac{146.7}{220.3}≈0.6659 \)​.​ Így β≈41.8°.

2.c Oldallap és alaplap hajlásszöge (γ).

Az FKE derékszögű háromszögben: ​\( cos(γ)=\frac{a/2}{m_{o}} \)​.
Tehát: ​\( cos(γ=\frac{116.2}{187.14}≈0.6909 \)​. Így γ≈51.6°.

3.  Beírt gömb.

A négyzet alapú gúlába írt gömb a gúla minden lapját (alaplapját és a négy oldallapját is) érinti. Ennek a gömbnek a főköre beírt köre annak az egyenlőszárú háromszögnek, amelynek oldalai az alaplap középvonala és két szemben lévő oldallap magassága.  A mellékelt ábrán ez az F2F1E háromszög. A beírt gömb középpontja tehát a test magasságán (szimmetria-tengelyén) van. A háromszögbe írt kör (O) középpontját ennek az(F2F1E) háromszögnek a szögfelezői metszik ki. A beírt kör sugarát megkapjuk, ha ebből az O pontból merőlegest állítunk az oldallap magasságára. Így kapjuk az L pontot.

A beírt kör  (OL) sugarának hosszát kiszámíthatjuk ennek a háromszögnek a segítségével a tF2F1E=rb⋅s képlet segítségével. Itt “s” a háromszög kerületének a fele.

A Kheopsz piramis esetén a beírt gömb sugarát tehát a következő számítás adja:

\( t_{LFE}=\frac{232.4·146.7}{2}≈17046.54 \; m \)​. Az F2F1E háromszög kerülete: a+2⋅mo. Azaz 232,4 +2⋅187 m. Így s= 303.3 m.

Tehát a Kheopsz piramis oldallapjait érintő gömb sugara rb≈56.2 m lenne.

Megjegyzés: Ha egy poliéderbe (sokszöglapokkal határolt test) gömb írható, akkor ennek a gömbnek a sugarát a következő összefüggéssel is megkaphatjuk: ​\( r_{b}=\frac{3·V}{A} \)​. Azaz a térfogat háromszorosát osztjuk a felszín mértékével.

A Kheopsz piramis esetén: ​\( r_{b}=\frac{3·2641077}{140995}≈56.2 \)​m.

Persze nem minden poliéderbe írható gömb. Hiszen a például a téglatestbe sem, ha az nem kocka.

4.  Köré írt gömb.

A négyzet alapú gúla köré írt gömb (O) középpontja egyenlő távol van a gúla (ABCDE) csúcsaitól. Mivel az mg magasságvonal minden pontja egyenlő távol van az alaplap négy csúcsától, tehát ez az (O) pont illeszkedik a magasságvonalra. Az (O) pontot megkapjuk, ha az ACE átlós sík által kimetszett (ACE) egyenlőszárú háromszögben megszerkesztjük az AE szakasz oldalfelező merőlegesét. Ez metszi ki a magasságvonalon a köré írt gömb (O) középpontját.

A köré írt kör rk sugarának hosszát a következőképpen számolhatjuk ki:

Az AKE és az OFE derékszögű háromszögek hasonlóak, hiszen van még egy közös szögük (AEK) is. Írjuk fel az oldalak arányát: EO:EF=EA:EK.

Itt EO=AO=rk a köré írt gömb sugara, a AE: a gúla (o) oldaléle, EF az oldalél fele, EK pedig a gúla mg magassága.

Tehát rk:o/2=o:mg, vagyis ​\( r_{k}=\frac{o·o/2}{m_{g}} \)​.

A Kheopsz piramis esetén: ​\( r_{k}=\frac{220.3·110.15}{146.7}≈165.41 \)m.

Megjegyzés:A mellékelt ábrától eltérően ebben az esetben az rk>mg. Ez azt is jelenti, hogy a gömb kör írt középpontja a Kheopsz piramis esetében a gúlán kívül lenne. A piramis két átellenes oldaléle tompa szöget (AEC∠: 180°-2⋅β)=180°-2⋅41.8°=96.4°) zár be.

 

 

Print Friendly, PDF & Email