Lineáris törtfüggvények

A lineáris törtfüggvények általános alakja: ​\( f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \).

Például:  ​\( f(x)=\frac{2x+1}{x-3} \)​ .
Ez könnyen átalakítható a következő alakba:  ​\( f(x)=\frac{7}{(x-3)}+2 \)​.

 

 

A függvény grafikonja egy hiperbola:

A \( f(x)=\frac{7}{(x-3)}+2 \)​ függvény jellemzése:

Értelmezési tartomány: x∈ℝ|x≠3.
Értékkészlet: y=​\( \frac{7}{(x-3)}+2 \)​∈R|y≠2
Zérushelye: x=-0.5.
Menete: Szigorúan monoton csökken, ha x<3 és szigorúan monoton csökken, ha nő, ha x>3. (3-hoz balról közeledve “tart” a -∞ felé, majd előbukkan a +∞-ben, és szigorúan monoton csökkenve tart a +2 felé.)
Szélsőértéke: Nincs
Korlátos: Nem.
Páros vagy páratlan: Egyik sem.
Periodikus: Nem.
Konvex/konkáv: Konkáv, ha x<3 és konvex ha x>3.
Folytonos: Nem.
Inverz függvénye: Van. Ez pedig a ​\( f^{-}(x)=\frac{7}{x-2}+3 \)

Az ​\( f(x)=\frac{7}{(x-3)}+2 \)​ és az inverzének, az ​\( f^{-}(x)=\frac{7}{x-2}+3 \)​ függvények grafikonja egy koordináta rendszerben:

 

A fordított arányosság függvénye  ​\( f(x)=\frac{c}{x} \)​, amelyet reciprok függvénynek is neveznek, szintén lineáris törtfüggvény.

Ezek mindannyian a racionális törtfüggvények csoportjába tartoznak. A racionális törtfüggvények számlálója és nevezője egy valahányad fokú polinom.
A lineáris törtfüggvények esetében a számláló és a nevező egyaránt elsőfokú polinom.

Megjegyzés: az ​\( f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \)​ lineáris törtfüggvény ekvivalens átalakítása: ​\( f(x)=\frac{\frac{a}{c}(cx+d)+b-\frac{ad}{c}}{cx+d} \)​. Ez egyszerűbben ​\( f(x)=\frac{p}{cx+d}+q \)​ alakú.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.