Az egyenes arányosság és a fordított arányosság fogalma

A matematikában az arány két mennyiség, mérhető dolog viszonya. Két mennyiség aránya a két érték hányadosával fejezhető ki.

Egyenes arányosság fogalma:

Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa, aránya állandó, akkor azt mondjuk, hogy az a két mennyiség egyenesen arányos. Ha az egyik mennyiség valahányszorosára változik, akkor a másik mennyiség is ugyanennyiszeresére változik.

Kézenfekvő példák:

Adott ár mellett a vásárolt áru mennyisége és a fizetendő érték egyenesen arányosak. Az összetartozó értékek hányadosa, aránya állandó, ez az áru egységára. Fizetett érték:vásárolt mennyiség=állandó (egységár).

Adott átlagsebesség mellett a megtett út egyenesen arányos az út megtételére fordított idővel. Út : idő=állandó (átlagsebesség).

Általánosan: y : x=a, vagy átrendezve: y=a⋅x.

Ha ezt az összefüggést, mint függvényt tekintjük, az egyenes arányosság függvényét kapjuk: f(x)=ax Ez egy speciális lineáris függvény, grafikonja origón átmenő egyenes.

Példa:

Ha egy autóval 187,5 km-t 2,5 óra alatt tettünk meg, akkor 262,5 km megtételéhez mennyi időre lesz szükségünk? (Feltételezve, hogy az átlagsebességünk állandó.)

Megoldás:

Mivel az út és a megtételéhez szükséges idő egyenesen arányos, tehát az összetartozó értékek aránya, hányadosa állandó, így: 187:2,5=262,5:x aránypárt kapjuk. Ahol x a keresett időtartamot jelöli, amely így nem lehet 0. Az aránypárt szorzat alakba is írhatjuk: 2,5⋅262,5=187,5⋅x. A keresett érték tehát: x=2,5⋅262,5/187,5. Azaz x=3,5.

Fordított arányosság fogalma:

Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek szorzata állandó, akkor azt mondjuk, hogy az a két mennyiség fordítottan arányos.

Kézenfekvő példák:

Adott érték mellett a vásárolt áru mennyisége és az ára fordítottan arányosak. Minél olcsóbb árut veszek, annál többet vásárolhatok ugyanannyi pénzért. Mennyiség⋅ár=fizetendő érték.

Adott út megtételéhez szükséges idő fordítottan arányos a sebességgel. Minél gyorsabban megyek, annál kevesebb időre van szükségem. Sebesség⋅idő=megtett út.

Általánosan: y⋅x=c (állandó).

Vagy átrendezve: y=c : x.; x, c, y ∈ℝ​​ , és x≠0, c≠0, y≠0.

Ha ezt az összefüggést, mint függvényt tekintjük, akkor a fordított arányosság függvényét kapjuk. f(x)=c/x, ahol x, c, f(x)∈ℝ és x≠0, c≠ 0, f(x)=y≠0. A függvény grafikonját hiperbolának nevezzük.

Példa:

Ha egy városba 75 km/óra átlagsebességgel 4 óra alatt jutunk el, mennyi időre van szükségünk akkor, ha csak 50km/óra átlagsebességgel tudunk haladni?

Megoldás:

Mivel a sebesség és az idő fordítottan arányosak, tehát az összetartozó értékek szorzata állandó, így: 75⋅4=50⋅x összefüggést kapjuk. Ebből x=75⋅4/50, azaz x=6 óra adódik.