Hiperbola, mint adott tulajdonságú pontok halmaza

Definíció:

A hiperbola azoknak a P pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík két adott pontjától, az F₁ és F₂ fókuszpontoktól való távolságaik (r₁, és r₂ vezérsugarak) különbségének abszolút értéke állandó (2a). Ez a távolság kisebb kell legyen, mint a két fókuszpont távolsága.

Formulával: hiperbola={P|(|d(P,F₁)-d(P,F₂)|)=|r₁-r₂|=állandó=2a<d(F₁;F₂).

A két fókuszpont egyenese a hiperbola egyik szimmetriatengelye. Ennek a szimmetriatengelynek a hiperbolával két közös pontja van. Ennek a két metszéspontnak a távolsága (2a) a hiperbola valós tengelye. Ennek hossza egyenlő a hiperbola bármely pontjának a fókuszoktól való távolságok (r₁ és r₂ vezérsugarak) különbségének abszolút értékével. Ez a távolság az adott fókuszpontok mellett jellemző a hiperbolára.

A valós tengely felezőmerőlegese a hiperbola másik szimmetriatengelye. Ennek a hiperbolával nincs közös pontja. Az ellipszishez hasonlóan itt is bevezethetünk egy szakaszt, amely megfelel az ellipszis kistengelyének. A valós tengely egyik végpontjából a két fókusz távolságának a felével (c) körívet húzunk. Ez kimetszi a másik szimmetria tengelyen az un. képzetes tengelyt (b).

A két tengely metszéspontja (O) a hiperbola szimmetria középpontja.

A hiperbola fókuszpontjai távolságának a fele (c), a valós tengely fele (a) és képzetes tengely fele (b) között az alábbi összefüggés írható fel: c²=a²+b². (Pitagorasz tétele)

A hiperbolát tehát egyértelműen meghatározza:

1. A fókuszpontok távolsága. F₁F₂=2c.
2. A hiperbolára jellemző állandó távolság különbség (a vezérsugarak különbségének abszolút értéke), a nagytengely hossza: AB=2a.

Hiperbola érintői

Definíció:

Egy hiperbola érintője olyan egyenes a síkon, amelynek egy adott hiperbolával egy és csak egy közös pontja van és minden más pontja külső pont.

Megjegyzés: Az aszimptotákkal párhuzamos (és tőlük különböző) egyenesek a hiperbolát egy pontban metszik, mégsem érintők.

Hiperbola és az érintők kölcsönös helyzete:

A hiperbola pontjaiba húzott érintők a vezérsugarak által közrefogott szög szögfelezője.
A valós (nagy) tengely végpontjaiban húzott érintők merőlegesek a valós tengelyre.

Hiperbolához külső pontból húzott érintők szerkesztése

A körhöz, a parabolához és az ellipszishez hasonlóan külső pontból a hiperbolához is (maximum) két érintő húzható.
Megjegyzés: Az aszimptotákat is nevezhetjük „speciális” érintőknek, azaz végérintőknek.

Vegyünk fel egy hiperbolát és húzzuk meg az AB nagytengellyel, mint átmérővel a hiperbola un. főkörét. Vegyünk fel a hiperbola tartományon kívül egy tetszőleges P pontot.
Kössük össze a P pontot a hiperbola egyik fókusz pontjával. Ezzel a szakasszal, mint átmérővel húzzunk egy kört (k). Ez a kör két pontban (M1, M2) metszi a hiperbola főkörét.
A PM1 és PM2 egyenesek az hiperbola P pontból húzott érintőinek egyenesei. Az érintési pontok E1 és E2.

A hiperbola szerkeszthetősége

A hiperbola vonala euklideszi értelemben nem szerkeszthető, de véges számú pontja igen.

Legyen adott egy hiperbola két fókusz pontja. Távolságuk legyen F₁F₂=2c=10 egység. Szerkesztendő annak a hiperbolának néhány pontja, amelynek pontjainak a fókuszoktól való távolságának különbsége abszolút értékben 8 egység, azaz |r₁-r₂|=8.

Vegyünk fel az F1F2=2c=10 egység hosszúságú szakaszt. Ennek a szakasznak a felezési pontja az „O” pont. Az F1F2 szakasz által meghatározott egyenesre az „O” pontból mérjük ki az a=4 egység távolsággal az „A” és B” pontokat. Az AB=2a szakasz a hiperbola nagytengelye. Az a2=b2+c2 összefogás segítségével a „b” értéke kiszámítható. Így b=3 egység. Az „O” pontban állítsunk merőlegest az F1F2 nagytengelyre. Erre az „O” pontból mérjünk rá a b=3 egység távolságot mindkét irányban. Így kapjuk a C és D pontokat. A CD szakasz a hiperbola un. képzetes tengelye.
Most szerkesszünk további hiperbola pontokat! A szerkesztés alapja, hogy a fókuszpontok köré egy olyan r1 és r2 sugarú kört, ahol |r1-r2|=2a=10. Húzzunk tehát az F1 fókuszpont körül egy r1=1.5 és az F2 fókuszpont köré egy r2=9.5 sugarú kört. r2– r1=8 Ezek metszéspontjai a P1 és P2 pontok. A kapott P1 és P2 pontokat a CD képzetes tengelyre tükrözve a P3 és P4 pontokat is megkapjuk.
Folytassuk az eljárást! Most egy r1=11 és egy r2=3 sugarú kört húzunk az F1 és az F2 fókuszpontok köré, r1– r2=8. Ezek metszéspontjai pedig a P5 és P6 pontok. Ezeket a pontokat a CD képzetes tengelyre tükrözve kapjuk a P7 és P8 pontokat.
Így most már megpróbálhatjuk a hiperbola „vonalát” az A, B és a P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, pontokon át „meghúzni”.
Érdemes berajzolni az egyes pontokhoz tartozó r1 és r2 vezérsugarakat.

A hiperbolát azonban mint kúpszeletet is definiálhatjuk.

Ha a kettős forgáskúpot olyan síkkal metsszük, amely nem megy át a kúp csúcspontján, és a metsző sík két alkotóval párhuzamos, akkor a síkmetszet hiperbola.

A derékszögű koordináta rendszer alkalmazása lehetővé tette a hiperbola analitikus tárgyalását.