Definíció:
A hiperbola azoknak a P pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík két adott pontjától, az F1 és F2 fókuszpontoktól való távolságaik (r1, és r2 vezérsugarak) különbségének abszolút értéke állandó (2a). Ez a távolság kisebb kell legyen, mint a két fókuszpont távolsága.
Formulával: hiperbola={P|(|d(P,F1)-d(P,F2)|)=|r1-r2|=állandó=2a<d(F1;F2).
A két fókuszpont egyenese a hiperbola egyik szimmetriatengelye. Ennek a szimmetriatengelynek a hiperbolával két közös pontja van. Ennek a két metszéspontnak a távolsága (2a) a hiperbola valós tengelye. Ennek hossza egyenlő a hiperbola bármely pontjának a fókuszoktól való távolságok (r1 és r2 vezérsugarak) különbségének abszolút értékével. Ez a távolság az adott fókuszpontok mellett jellemző a hiperbolára.
A valós tengely felezőmerőlegese a hiperbola másik szimmetriatengelye. Ennek a hiperbolával nincs közös pontja. Az ellipszishez hasonlóan itt is bevezethetünk egy szakaszt, amely megfelel az ellipszis kistengelyének. A valós tengely egyik végpontjából a két fókusz távolságának a felével (c) körívet húzunk. Ez kimetszi a másik szimmetria tengelyen az un. képzetes tengelyt (b).
A két tengely metszéspontja (O) a hiperbola szimmetria középpontja.
A hiperbola fókuszpontjai távolságának a fele (c), a valós tengely fele (a) és képzetes tengely fele (b) között az alábbi összefüggés írható fel: c2=a2+b2. (Pitagorasz tétele)
A hiperbolát tehát egyértelműen meghatározza:
1. A fókuszpontok távolsága. F1F2=2c.
2. A hiperbolára jellemző állandó távolság különbség (a vezérsugarak különbségének abszolút értéke), a nagytengely hossza: AB=2a.
Hiperbola érintői
Definíció:
Egy hiperbola érintője olyan egyenes a síkon, amelynek egy adott hiperbolával egy és csak egy közös pontja van és minden más pontja külső pont.
Megjegyzés: Az aszimptotákkal párhuzamos (és tőlük különböző) egyenesek a hiperbolát egy pontban metszik, mégsem érintők.
Hiperbola és az érintők kölcsönös helyzete:
A hiperbola pontjaiba húzott érintők a vezérsugarak által közrefogott szög szögfelezője.
A valós (nagy) tengely végpontjaiban húzott érintők merőlegesek a valós tengelyre.
Hiperbolához külső pontból húzott érintők szerkesztése
A körhöz, a parabolához és az ellipszishez hasonlóan külső pontból a hiperbolához is (maximum) két érintő húzható.
Megjegyzés: Az aszimptotákat is nevezhetjük „speciális” érintőknek, azaz végérintőknek.
Vegyünk fel egy hiperbolát és húzzuk meg az AB nagytengellyel, mint átmérővel a hiperbola un. főkörét.
Vegyünk fel a hiperbola tartományon kívül egy tetszőleges P pontot. |
|
Kössük össze a P pontot a hiperbola egyik fókusz pontjával. Ezzel a szakasszal, mint átmérővel húzzunk egy kört (k).
Ez a kör két pontban (M1, M2) metszi a hiperbola főkörét. |
|
A PM1 és PM2 egyenesek az hiperbola P pontból húzott érintőinek egyenesei.
Az érintési pontok E1 és E2. |
A hiperbola szerkeszthetősége
A hiperbola vonala euklideszi értelemben nem szerkeszthető, de véges számú pontja igen.
Legyen adott egy hiperbola két fókusz pontja. Távolságuk legyen F1F2=2c=10 egység. Szerkesztendő annak a hiperbolának néhány pontja, amelynek pontjainak a fókuszoktól való távolságának különbsége abszolút értékben 8 egység, azaz |r1-r2|=8.
Vegyünk fel az F1F2=2c=10 egység hosszúságú szakaszt. Ennek a szakasznak a felezési pontja az „O” pont. Az F1F2 szakasz által meghatározott egyenesre az „O” pontból mérjük ki az a=4 egység távolsággal az „A” és B” pontokat. Az AB=2a szakasz a hiperbola nagytengelye. Az a2=b2+c2 összefogás segítségével a „b” értéke kiszámítható. Így b=3 egység. Az „O” pontban állítsunk merőlegest az F1F2 nagytengelyre. Erre az „O” pontból mérjünk rá a b=3 egység távolságot mindkét irányban. Így kapjuk a C és D pontokat. A CD szakasz a hiperbola un. képzetes tengelye. |
||
Most szerkesszünk további hiperbola pontokat!
A szerkesztés alapja, hogy a fókuszpontok köré egy olyan r1 és r2 sugarú kört, ahol |r1-r2|=2a=10. A kapott P1 és P2 pontokat a CD képzetes tengelyre tükrözve a P3 és P4 pontokat is megkapjuk. |
||
Folytassuk az eljárást! Most egy r1=11 és egy r2=3 sugarú kört húzunk az F1 és az F2 fókuszpontok köré, r1– r2=8. Ezek metszéspontjai pedig a P5 és P6 pontok.
Ezeket a pontokat a CD képzetes tengelyre tükrözve kapjuk a P7 és P8 pontokat. |
||
Így most már megpróbálhatjuk a hiperbola „vonalát” az A, B és a P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, pontokon át „meghúzni”. | ||
Érdemes berajzolni az egyes pontokhoz tartozó r1 és r2 vezérsugarakat. |
A hiperbolát azonban mint kúpszeletet is definiálhatjuk.
Ha a kettős forgáskúpot olyan síkkal metsszük, amely nem megy át a kúp csúcspontján, és a metsző sík két alkotóval párhuzamos, akkor a síkmetszet hiperbola.
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.