A hiperbola egyenlete

A hiperbola egyenletének meghatározásához induljunk ki a hiperbola definíciójából!

Definíció:

A hiperbola azoknak a P pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík két adott pontjától, az F₁ és F₂ fókuszpontoktól való távolságaik (r₁, és r₂ vezérsugarak) különbségének abszolút értéke állandó (2a).
Ez a távolság kisebb kell legyen, mint a két fókuszpont távolsága (2c).

Formulával: hiperbola={P|(|d(P,F₁)-d(P,F₂)|)=|r₁-r₂|=állandó=2a<d(F<₁;F₂).

A 2a távolság a hiperbola valós tengelye (a mellékelt ábrán az AB távolság, míg erre merőleges a hiperbola 2b hosszúságú képzetes tengelye (CD távolság).

A mellékelt ábrán az OBC derékszögű háromszögben felírva a Pitagorasz tételt:  c²=a²+b².

Helyezzük el a hiperbolát a koordináta rendszerben úgy hogy a 2a hosszúságú valós tengelye az „x”, a 2b hosszúságú képzetes tengelye  pedig az „y” tengelyre essen. Ekkor a hiperbola középpontja az origó, fókuszpontjainak koordinátái pedig: F₁(-c;0) és F₂(c;0).

A hiperbola egyenletéhez fel kell írni a hiperbola tetszőleges P(x;y) pontjának a távolságát a két fókuszponttól. A hiperbola definíciója szerint ennek a két távolságának különbség állandó (2a) kell legyen. Ebből kapjuk majd meg a hiperbola egyenletét.

Állítás:

A fent módon elhelyezett hiperbola P(x;y) pontjaira nézve érvényes  középponti egyenlete:  ​\( \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)​.

Bizonyítás:

1.  P(x;y) pont távolsága az F₁(-c;0) fókuszponttól: d(P;F₁):

Itt felhasználtuk a két pont távolságára tanult összefüggést.

2. P(x;y) pont távolsága az F₂(c;0) fókuszponttól: d(P;F₂):

 

A két távolság különbsége (abszolút értékben) adja a hiperbola egyenletét.: |d(P;F₁)-d(P;F₂)|=2a.
Azaz: 

Próbáljuk azonban ezt átalakítani. Az átalakítás során az ellipszis egyenleténél alkalmazott lépéseket fogjuk itt is használni. Az abszolút érték miatt azonban két esetet fogunk nézni:
1. d(P;F₁)>d(P;F₂). Ez a hiperbola jobb oldali ága. (r₁>r₂).
2. d(P;F₁)<d(P;F₂). Ez a hiperbola bal oldali ága. (r₁<r₂).

1. Nézzük előbb a hiperbola jobb oldali ágát. (r₁>r₂).

Ebben az esetben a hiperbola egyenlete így írható:

 

Átrendezve:

Négyzetre emelve: 

 

Mindkét oldalról y² elvéve: 

Zárójeleket felbontva: 

 

A mindkét oldalon egyező tagokkal egyszerűsítve és átrendezve:

 

4-gyel egyszerűsítve: 

 

Átrendezve: 

 

Négyzetre emelve: 

 

Beszorozva:

Egyező tagokkal egyszerűsítve:

Átrendezve: 

A baloldalon x²-t kiemelve:

Felhasználva a c²=a²+b² összefüggést: 

Átrendezve:

A jobb oldalon a²-t kiemelve:

Újra felhasználva a c²=a²+b² összefüggést:

A jobb oldalon szereplő taggal átosztva (a és b távolságok, nem lehetnek nullák)

2.  d(P;F₁)<d(P;F₂). Ez a hiperbola bal oldali ága. (r₁<r₂).

Ebben az esetben a hiperbola egyenlete így írható:

Ebben az esetben is a fentiekhez hasonló lépéseken át juthatunk el a hiperbola egyenletének már megismert alakjához: