Tétel:
Ha adott a koordináta-rendszerben az A(a1;a2) és B(b1;b2) pontok, akkor a két pont távolsága egyenlő a két pont megfelelő koordináták különbségeinek négyzetösszegéből vont négyzetgyökével. \( AB=d=\sqrt{(b_{1}-a_{1})^2+(b_{2}-a_{2})^2} \)
Bizonyítás:
Két pont távolsága egyenlő a két pont által meghatározott vektor abszolút értékével. A két pont által meghatározott vektor a két pont helyvektorának különbsége.
Az A pontból a B pontba mutató vektort jelöljük \( \vec{v} \)-vel a mellékelt ábra szerint:
\( \vec{v}=\vec{b}-\vec{a} \)=>\( \vec{v} \)(b1-a1;b2-a2).
A \( \vec{v} \) vektor hossza a vektorral és koordinátáival képzett derékszögű háromszögből Pitagorasz tételével számítható, hiszen a derékszögű háromszög befogói a pontok koordinátái különbségének abszolút értéke.
Felírva tehát a Pitagorasz tételét:
d2=(b1-a1)2+(b2-a2)2.
Ebből négyzetgyökvonással kapjuk az állítást:
\( d=\sqrt{(b_{1}-a_{1})^2+(b_{2}-a_{2})^2} \)
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.