Nevezetes ponthalmazok – Mértani helyek

Két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban: ez a szakaszfelező merőleges egyenes.

Két adott, de különböző (A és B) pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban az adott pontok által meghatározott (AB) szakasznak az adott (S) síkra illeszkedő felező merőleges egyenese (f).

Két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben: ez a szakaszfelező merőleges sík.

Két adott, de különböző (A és B) pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben az adott pontok által meghatározott (AB) szakasz felezőmerőleges síkja (S).

Két adott, de különböző egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.

1. Két adott (e és f) párhuzamos egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az adott egyenesek síkjában az a (p) egyenes, amelyik az adott egyenesekkel párhuzamos és a távolságukat felezi. (középpárhuzamos egyenes) 

2. Két adott (a és b) metsző egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az adott egyenesek síkjában az egyenesek által bezárt szögek szögfelező egyenesei (f1, f2). A két szögfelező merőleges egymásra. 

Adott ponttól adott távolságra lévő pontok halmaza a síkban: ez a körvonal.

Definíció:

A körvonal azoknak a pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek egy adott ponttól, a kör K középpontjától adott távolságra (r sugár) vannak.

Formulával:  körvonal={P|d(P;K)=r}.

A körvonal két pontját összekötő szakasz a kör húrja (h).
A kör középpontján áthaladó húr a kör átmérője (d), amely a sugár kétszerese. (d=2r).

A körvonalon belüli (A) pontok a középponttól a sugárnál kisebb távolságra vannak. d(A;K)<r.
A körvonalon kívüli (B) pontok a középponttól a sugárnál nagyobb távolságra vannak. d(B;K)>r.

Definíció:

A (zárt) körlemez azoknak a pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek egy adott ponttól, a kör K középpontjától adott távolságnál (r sugár) nem nagyobb távolságra vannak.

Formulával: Zárt körlemez={P|d(P;K)≤ r}.

Adott ponttól adott távolságra lévő pontok halmaza a térben: ez a gömbfelület.

Definíció:

A gömbfelület azoknak a pontoknak az összessége a térben, amelyek egy adott ponttól, a gömb K középpontjától adott távolságra (r sugár) vannak.

Formulával: gömbfelület={P|d(P;K)=r}.

Két adott ponttól való távolságuk összege állandó: ez az ellipszis.

Definíció:

Az ellipszis azoknak a P pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík két adott pontjától, az F1 és F2 fókuszpontoktól való távolságaik (r1, és r2 vezérsugarak) összege állandó (2a).
Ez a távolság nagyobb kell legyen, mint a két fókuszpont távolsága.

Formulával: ellipszis={P|d(P,F1)+d(P,F2)=r1+r2=állandó=2a>d(F1;F2).

Ellipszis definíciója

Megjegyzés: Ha a két fókusz egybeesik, akkor kört kapunk.

A mellékelt ábra jelölései szerint:
F1 és F2: az ellipszis fókuszpontjai, F1F2=2c
AB=az ellipszis nagytengelye=2a.
P az ellipszis egy tetszőleges pontja. PF1+PF2=2a.
PF1 és PF2 szakaszok: r1 és r2 vezérsugarak.
CD=az ellipszis kistengelye (2b).

Az ellipszis vonala euklideszi értelemben nem szerkeszthető, de véges számú pontja igen.

Két adott ponttól valós távolságuk különbségének abszolút értéke állandó: ez a hiperbola

Definíció:

A hiperbola azoknak a P pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík két adott pontjától, az F1 és F2 fókuszpontoktól való távolságaik (r1, és r2 vezérsugarak) különbségének abszolút értéke állandó (2a).
Ez a távolság kisebb kell legyen, mint a két fókuszpont távolsága.

Formulával: hiperbola={P|(|d(P,F1)-d(P,F2)|)=|r1r2|=állandó=2a<d(F1;F2).

A mellékelt ábra jelölései szerint:

F1 és F2: a hiperbola fókuszpontjai. F1F2=2c.
AB=a hiperbola valós tengelye=2a.
P a hiperbola egy tetszőleges pontja.
|PF1-PF2|=2a.
PF1 és PFszakaszok: r1 és r2 vezérsugarak.
CD=a hiperbola képzetes tengelye=2b.

A hiperbola vonala euklideszi értelemben nem szerkeszthető, de véges számú pontja igen.

Adott egyenestől és adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza: ez a parabola.

Definíció:

A parabola azoknak a pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík egy adott egyenesétől (vezéregyenes) és a sík egy adott (a vezéregyenesre nem illeszkedő) pontjától (fókusz) egyenlő távolságra vannak.

Formulával: parabola={P|d(P,v)=d(P,F).

Parabola definíciója

A mellékelt ábra jelölései szerint:
v: vezéregyenes,
F: fókuszpont.
p: fókuszpont és vezéregyenes távolsága, a parabola paramétere. (A mellékelt animáció esetében: p=1.25)
P
: a parabola egy tetszőleges pontja.
t: parabola tengelye,
T: parabola tengelypontja.

A parabola euklideszi értelemben nem szerkeszthető, de véges számú pontja igen.

Két adott ponttól való távolságuk aránya állandó: ez az Apollóniosz kör

Definíció:

Apollóniosz kör azon pontok halmaza síkban, amely pontoknak két adott ponttól való távolságainak aránya állandó.

Formulával: Apollóniosz kör={P|AP:BP=m:n}.

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.