Apollóniusz kör

Definíció:

Apollóniusz kör azon pontok halmaza (mértani helye) a síkban, amely pontoknak két adott ponttól való távolságainak aránya állandó. (Apollóniosz görög matematikusról elnevezve.)

Formulával: Apollóniusz kör={P|(AP:BP)=m:n. 

Apollóniusz kör szerkesztése:

Adott:
1. AB szakasz.
2. AP:PB arány (m:n). Például: 2:3

Szerkesztés menete:

1. Az adott szakaszon belül az adott aránynak megfelelő pont (C) szerkesztése a párhuzamos szelők tétele segítségével.
AC=2AB/5
Általában: ​\( AC=\frac{m·AB}{m+n} \).

2. A szakasz meghosszabbításán az adott aránynak megfelelő külső pont (D) szerkesztése.
AD=2AB
Általában:  ​\( AD=\frac{m·AB}{n-m} \)​  (n>m).

3. Emeljünk az DC szakasz fölé Thalész kört.
Ennek a körvonalnak minden P pontjára igaz, hogy az adott AB szakasz végpontjaitól való távolságainak aránya a megadott aránnyal egyenlő:
AP:PB=2:3

Bizonyítás:

Ennek bizonyítása a szögfelező tételre épül, valamint arra a tényre, hogy a háromszögek belső és külső szögfelezői merőlegesek egymásra.

A szögfelező tétel szerint az APB háromszögben a PC szögfelező az AB oldalt a közrefogó oldalak arányában osztja.
PA:PB=AC:CB=2:3 (Általában m:n)