Thalész tétele

Thalész tétele:

Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör kerületének bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk.

Bizonyítás:

Kössük össze a kör AB átmérőjének két végpontját a körvonal egy tetszőleges C pontjával. Így egy ABC háromszöget kaptunk. Az A csúcsnál lévő CAB∠ =α, és az  ABC∠=β

Kössük most össze a C pontot a kör O középpontjával. Az OC=r szakasz két háromszögre bontja az eredeti háromszöget.
Mindkét háromszög egyenlőszárú, hiszen AO=OC=OB=r.
Ebből következik, hogy ACO∠=CAB∠=α. Ugyanígy BCO∠=ABC∠= β.
Az ABC háromszög belső szögeinek összege: α +β +(α+β)=180° => 2(α+β)=180°.

Tehát: α+β=90°

Ezzel beláttuk, hogy az ABC háromszögben a C csúcsnál derékszög van.

A tétel megfordítása:

A derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja.

Bizonyítás:

Tekintsük az ABC derékszögű háromszöget, melynek átmérője az AB oldal, tehát ACB∠ =90°. Tükrözzük ezt a háromszöget az AB átfogó F felezési pontjára. C pont tükörképét C’ ponttal jelöltük a mellékelt ábrán. A középpontos tükrözés tulajdonságai miatt az így kapott síkidom téglalap, amelynek átlói egyenlő hosszúak és felezik egymást.

 A téglalap F középpontja egyenlő távol van az ABC háromszög mindhárom csúcsától, ezért ez az F pont éppen az ABC háromszög köré írt körének a középpontja, AF=FB=FC a köré írt kör sugara.

A két állítás egybe is foglalható:

Tétel:

A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz derékszög alatt látszik, az AB átmérőjű kör, kivéve az AB szakasz két végpontját.

Megjegyzés: ezt a kört szokás az AB szakasz Thalész körének nevezni.

Thalész tétele tekinthető a kerületi és középponti szögek tétele speciális esetének.

Ha a P pont nem a kör kerületén, hanem a kör belsejében van, akkor a P pontból az AB szakasz tompaszög alatt látszik. Ha a P pont nem a kör kerületén, hanem a körön kívül helyezkedik el, akkor a P pontból az AB szakasz hegyesszög alatt látszik.

Egyik leggyakoribb alkalmazása:

Adott körhöz adott külső pontból érintő szerkesztése.

A szerkesztés lépései:

1. Kössük össze a kör (O) középpontját az adott (P) ponttal és szerkesszük meg ennek a szakasznak a felezőpontját. (F)

 

2. Húzzunk a felezőpontból az OF= FP =r sugárral az F pont körül egy kört. Ez a kör E1 és E2 pontban metszi a megadott, eredeti kört.

 

3. Húzzunk egyeneseket az adott külső (P) pontból a kapott E1 és E2 metszéspontokon át.

 

 

 

4. Mivel ezek a metszéspontok rajta vannak az OP átmérőjű körön, ezért ezekből a pontokból az OP szakasz derékszög alatt látszik. Ez pontosan azt jelenti, hogy a P pontból húzott egyenesek merőlegesek az eredeti kör OE1= OE2 sugarára.

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.