Az ellipszis egyenlete

Az ellipszis egyenletének meghatározásához induljunk ki az ellipszis definíciójából!

Definíció:

Az ellipszis azoknak a P pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík két adott pontjától, az F1 és F2 fókuszpontoktól való távolságaik (r1, és r2 vezérsugarak) összege állandó (2a). Ez a távolság nagyobb kell legyen, mint a két fókuszpont (2c) távolsága.

Formulával: ellipszis={P|d(P,F1)+d(P,F2)=r1+r2=állandó=2a>d(F1;F2).

A 2a távolság az ellipszis nagytengelye (a mellékelt ábrán az AB távolság, míg erre merőleges az ellipszis 2b hosszúságú kistengelye (CD távolság).

A mellékelt ábrán az ODB derékszögű háromszögben felírva a Pitagorasz tételt:  c2=a2-b2.

Helyezzük el az ellipszist a koordináta rendszerben úgy hogy a 2a hosszúságú nagytengelye az “x”, a 2b hosszúságú kistengelye  pedig az “y” tengelyre essen. Ekkor az ellipszis középpontja az origó, fókuszpontjainak koordinátái pedig: F1(-c;0) és F2(c;0).

Az ellipszis egyenletéhez fel kell írni az ellipszis tetszőleges P(x;y) pontjának a távolságát a két fókuszponttól. Az ellipszis definíciója szerint ennek a két távolságnak az összege állandó (2a) kell legyen. Ebből kapjuk majd az ellipszis egyenletét.

Állítás:

A fent módon elhelyezett ellipszis P(x;y) pontjaira nézve érvényes  középponti egyenlete:  ​\( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)​.

Bizonyítás:

1.  P(x;y) pont távolsága az F1(-c;0) fókuszponttól: d(P;F1):
Itt felhasználjuk a két pont távolságára tanult összefüggést:

 

2. P(x;y) pont távolsága az F2(c;0) fókuszponttól: d(P;F2):

 

A két távolság összege az ellipszis egyenletét adja:

Természetesen ezt még át kell alakítani, hogy a tétel állításában szereplő formulát megkapjuk!

Csoportosítsunk át!

 

Emeljük mindkét oldalt négyzetre! 

 

Vonjunk el mindkét oldalból y2-t!

Bontsuk fel a zárójeleket!

 

Az egyenlet két oldalán egyező tagokat (x2, c2) vonjuk ki az egyenletből!

Az egyenlet mindkét oldalához adjunk hozzá 2xc-t!

 

Csoportosítsunk át és osszuk mindkét oldalt 4-gyel!

 

Emeljünk négyzetre!

Bontsuk fel a zárójeleket!

 

Az egyenlet két oldalán egyező tagokat (2a2xc) vonjuk ki az egyenletből! 

Csoportosítsunk át! 

 

Emeljünk ki a baloldalon x2-t, a jobb oldalon a2-t! 

 

Felhasználva, hogy a2-c2=b2:

Osszuk az egyenlet mindkét oldalát a2b2-tel! (ami nem lehet nulla):

És ezt kellett bizonyítani.

Feladat:

Egy ellipszis egyenlete  ​\( \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)​. Milyen hosszúságú vezérsugarak tartoznak azokhoz az ellipszis pontokhoz, amelyeknek akkora az abszcisszájuk, mint a gyújtópontoknak?

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 3435. feladat.)

Megoldás:

A megadott egyenletből, az a2=25, és b2=16 értékekből következik, hogy az ellipszis nagytengelye hosszának fele a=5 Így a nagytengely hossza 2a=10, a kistengely hosszának a fele: b=4.

Az c2=a2-b2 összefüggés felhasználásával c=3, 2c=6 adódik. Ez tehát azt jelenti, hogy a gyújtópontoknak, az F1 és F2 fókuszpontoknak a koordinátái: F1(-3;0), és F2(3;0).

Ha a fókuszpontokon át párhuzamosokat húzunk az y tengellyel, megkapjuk azokat a pontokat, amelyeknek ugyanakkora az abszcisszájuk, mint a fókuszpontoké (P1, P2, P3, P4).

Ha az ellipszis egyenletébe behelyettesítjük az x helyére a fókuszpontok abszcissza értékét (a 3-t), a kapott egyenletből az y koordináták kiszámíthatók. A \( \frac{3^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \) egyenletből y1=3,2 és y2=-3,2 adódik.
Az r1 vezérsugár értéke ebben az esetben megegyezik a kapott pontok y koordinátájának abszolút értékével, tehát r1=3,2.
Mivel az ellipszis nagytengelyének hossza egyenlő a két vezérsugár összegével, ezért: r1+r2=10. Ebből következik, hogy a másik vezérsugár értéke ebben az esetben: r2=6,8.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.