Függvények periodikussága, korlátossága

Függvények periodikussága

Definíció:

Az f:H→ x→f(x) függvény periodikus (ismétlődő), ha van olyan p>0 állandó valós szám (ismétlési tényező), hogy az  értelmezési tartomány minden x elemére f(x+p)=f(x).
Ha az ilyen p konstans számok között létezik legkisebb, akkor azt a p konstanst a függvény periódusának nevezzük.

Periodikus függvények a trigonometrikus függvények, a szinusz, koszinusz, a tangens és a kotangens függvények.
A szinusz és a koszinusz függvények esetén (alapesetben) az p állandó (ismétlési tényező): p=2π .

 

A tangens függvény

 

A tangens és a kotangens függvények esetén ez az ismétlési állandó: p=π.

 

 

 

 

 

De a trigonometrikus függvényeken kívül is ismerünk periodikus függvényeket.

A törtrész függvény grafikonja.

Ilyen például az un. törtrész függvény, amelynek képzési szabálya (definíciója): t(x)= {x}=x-[x], ahol [x] az a legnagyobb egész szám, amely még nem nagyobb, mint az x. (röviden: ([x] jelenti az x valós szám egész részét.) Itt a periódus p=1.

A függvény értéke például az x=1,2 helyen: t(1.2)=0.2, mert 1,2 egész része 1.
Ha x=-0,2, akkor t(-0,2)=0,8, mert -0,2 egész része -1, mivel ez a legnagyobb olyan egész szám, amely még kisebb, mint -0,2.

Korlátosság

Definíció:

Az f:H→ℝ, x→f(x) függvény alulról korlátos, ha van olyan k valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden elemére k≤ f(x).
Az f(x) függvény felülről korlátos, ha van olyan K valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden elemére f(x)≤K.
Az f(x) függvény korlátos, ha alulról és felülről is korlátos, azaz van olyan k; K valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden elemére k≤f(x)≤K.

Az előjel függvény.

Korlátos függvényre példa az un szignum (előjel) függvény, amelynek hozzárendelési szabálya a következő: \( sgn(x)=\left\{\begin{array}{} 1, \; ha \; x>0 \\ 0, \; ha \; x=0\\ -1, \; ha \; x<0 \end{array}\right\} \)​​.
A szignum függvény esetén a függvény korlátja: K=1.
Azaz |sgn(x)|≤1.

Korlátos függvény például még a törtrész, a szinusz és a koszinusz függvények is. A korlát ezekben az esetekben is: K=1. 

Az  f: ℝ→ℝ, f(x)=(x+3)2-4 másodfokú függvény csak alulról korlátos  (k=-4), hiszen tetszőleges x esetén -4 ≤f(x). Ennek a függvénynek nincs felső korlátja.

 

 

 

 

 

 

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.