Függvény értelmezési tartománya és értékkészlete

Függvény értelmezési tartományának és értékkészletének meghatározásánál a függvény fogalmából indulunk ki.

Definíció:

Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz elemeihez valamilyen egyértelmű módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

A H halmazt a függvény alaphalmazának, a K halmazt a függvény képhalmazának nevezzük.

Definíció:

A H alaphalmaznak azt részhalmazát, amelyhez  a képhalmaznak valamely eleme hozzá lett rendelve, a függvény értelmezési tartományának nevezzük. és Df-fel jelöljük.  Df⊆H.

Definíció:

A képhalmaznak a függvény helyettesítési értékeit tartalmazó részét a függvény értékkészletének nevezzük és Rf-fel jelöljük. Rf⊆K.

Megjegyzés: Sokszor nem teszünk különbséget alaphalmaz és értelmezési tartomány illetve képhalmaz és értékkészlet között.

Az értelmezési tartomány illetve az értékkészlet meghatározása meghatározása sokszor nem is olyan egyszerű feladat. Sokszor a hozzárendelés szabályából esetleg több feltétel megvizsgálása és ezek eredményeinek egyeztetése után tudjuk ezeket a tartományokat (halmazokat) pontosan meghatározni.

Például: 

Tekintsük  a mellékelt függvényt: ​\( f(x)=\frac{1}{x-3}+2 \)​.

Mivel a függvény szabályában a nevezőben változó szerepel, a nevező tehát nem lehet egyenlő nullával. Azaz x-3≠0. Ugyanakkor a tört számlálója nem tartalmaz változót, ezért a tört értéke nem lesz soha nulla. Így a függvény sehol nem veheti fel a 2 értéket.

Tehát ennek az ​\( f(x)=\frac{7}{x-3}+2=\frac{2x+1}{x-3} \)​függvénynek az értelmezési tartománya a valós számok halmaz, kivéve a 3-t (Df=ℝ\{3} míg az értékkészlete a valós számok halmaz, kivéve a 2-t. (Rf=ℝ\{2})

Tudjuk, hogy negatív értékből nem lehet a páros kitevőjű gyököt vonni. Ezért a ​\( g(x)=2\sqrt{x-4}-3 \)​ függvény értelmezési tartománya: Df={x∈ℝ|x≥4}.
Másrészt a függvény értékkészlete: Rf={f(x)=y∈ℝ|y≥-3}.

 

Feladat:

Határozza meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amenyen a lgcosx kifejezés értelmezhető!
Mi az értékkészlete az ezen a halmazon értelmezett x→ lgcosx függvénynek?

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 2499. feladat.)

Megoldás:

Mivel csak pozitív valós számoknak van logaritmusa, ezért a x→ lgcosx függvény értelmezési tartománya azoknak az x valós számoknak a halmaza, amelyre a cosx>0.
Ez az egyenlőtlenség akkor teljesül, ha

p/2+k2p <x<p/2+k2p; kÎℤ.

Az x→lgcosx függvény grafikonja

Ez tehát a x→lgcosx függvény értelmezési tartománya.

A fenti tartományon a cos függvény értékeire: 0<cosx≤1. Ebben a (0>1] intervallumban a logaritmus függvény értékei a nempozitív valós számok halmaza, tehát: lgcosx≤0.

Azaz a x →lgcosx függvény értékkészlete a nempozitív valós számok halmaza.

Megjegyzés: Az értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása nemcsak függvényvizsgálatkor, hanem egyenlet megoldásakor  is fontos lehet.

Például: ​

1. \( \sqrt{x-2}+1=0 \)​ egyenletnek biztosan nincs megoldása, hiszen a négyzetgyök értéke nem lehet negatív.

2. Másik példa: sin(x)+cos(x)=2 egyenletnek sem lehet megoldása, hiszen a sin(x) és a cos(x) függvények maximális értéke 1, de ezt az értékét soha nem egyszerre veszik fel.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.