Definíció:

Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz elemeihez valamilyen egyértelmű módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

A H halmazt a függvény alaphalmazának, a K halmazt a függvény képhalmazának nevezzük.

A H alaphalmaznak azt részhalmazát, amelyhez  a képhalmaznak valamely eleme hozzá lett rendelve, a függvény értelmezési tartományának nevezzük. és Df-fel jelöljük.  Df⊆H.

A képhalmaznak a függvény helyettesítési értékeit tartalmazó részét a függvény értékkészletének nevezzük és Rf-fel jelöljük. Rf⊆K.

Megjegyzés: Sokszor nem teszünk különbséget alaphalmaz és értelmezési tartomány illetve képhalmaz és értékkészlet között.

A függvény tehát egyértelmű hozzárendelés az értelmezési tartomány és az értékkészlet elemei között. Egy hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, ha az értelmezési tartomány minden eleméhez az értékkészlet egy elemét rendeli hozzá, és az értékkészlet minden eleméhez tartozik egy és csak egy elem az értelmezési tartományból.

Amennyiben a hozzárendelés számhalmazok között létesít kapcsolatot, akkor számfüggvényekről beszélünk.

Ugyanakkor függvénynek tekinthetjük például természetesen azokat a geometriai transzformációkat is, amelyek egy adott ponthoz egyértelműen rendel hozzá a képpontot. Továbbiakban számfüggvényekről lesz szó.

Függvény megadható:

– Képlettel.
– Utasítással.
– Grafikonnal.
– Táblázattal.

Jelölések:

A függvényeket valamilyen kis betűvel jelöljük. A függvény megadásánál meg szokták adni az alaphalmazt (vagy az értelmezési tartományt) és a képhalmazt (vagy az értékkészletet) jelentő számhalmazokat, illetve a hozzárendelés módját.

Példák:

1. Függvény neve legyen: g, a függvény változójának jele legyen: x.
Az alaphalmaz és a képhalmaz legyen a valós számok halmaza (ℝ).

A hozzárendelési szabály legyen a következő képlet: ​\( \sqrt{x} \)​.
Ebben az esetben a függvény megadásának formája:
g: ℝ→ℝ, g(x)=​\( \sqrt{x} \)​.  Ebben az esetben az értelmezési tartomány és az értékkészlet is: ℝ\ℝ-. Azaz Dg=ℝ\ℝ- és Rg=ℝ\ℝ-

2. Függvény neve legyen: d, a függvény változójának jele legyen: x.
Az alaphalmaz és a képhalmaz legyen a valós számok halmaza (ℝ).

A hozzárendelési szabály legyen a következő: x→ 1, ha x racionális és x→ 0, ha x irracionális. Ebben az esetben a függvény megadásának a módja utasítás.
A függvény értelmezési tartománya:  Dd=ℝ, míg az értékkészlete: Rd={0;1}
(Ennek a függvénynek a neve: Dirichlet-függvény.)

Megjegyzés: A számfüggvények esetében gyakori, hogy csak a hozzárendelési szabályt adják meg. Ilyenkor értelmezési tartománynak azt a legbővebb számhalmazt kell tekinteni, amelyen a hozzárendelési szabálynak értelme van.

Függvények ábrázolása:

Az R→ R (egyváltozós számfüggvények) ábrázolása lehetséges un. nyíldiagrammal.

Leggyakoribb azonban az (x; y) koordinátarendszerben való ábrázolás. A függvény értelmezési tartományának x elemeihez kiszámítjuk az f(x) függvényértékeket (helyettesítési érték), és az (x; y=f(x)) pontokat a koordináta-rendszerben ábrázoljuk. Ezeknek a pontoknak a halmaza az f függvény grafikonja. A grafikon egyenlete: y=f(x).

Például:

Ábrázoljuk a következő függvényt:
m: ℝ→ℝ, m(x)=(x+3)2-4 másodfokú függvény képe egy parabola.

Ennek a függvénynek az értelmezési tartománya a valós számok halmaza: Dm=ℝ.

A függvény értékkészlete: a -4-nél nem kisebb valós számok halmaza:  Rm=ℝ|y=m(x)≥-4.

Vannak függvények azonban, amelyek koordináta-rendszerben nem ábrázolhatók. Ilyen például a fent említett Dirichlet-féle függvény.

Az elemi (szám) függvények csoportosítása itt megtalálható.

 

Elemi függvények csoportosítása

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.