Euler egyenes

Tétel:

Bármely (nem szabályos) háromszögben a háromszög magasságpontja (M), a súlypontja (S) és a köré írt kör középpontja (O) egy egyenesbe esik, mégpedig úgy, hogy a súlypont a másik kettő távolságát harmadolja és a köré írt kör középpontjához van közelebb.

(Szabályos háromszög esetén a három pont természetesen egybe esik.)
Euler svájci matematikus nevét viseli a tétel.

Ez a tétel nem része a középiskolai anyagnak, analitikus (koordináta) geometriai úton igazolható.

Feladat:

Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái (-4;0), (1;0) és (0;3). Igazolja, hogy a háromszög magasságpontja, súlypontja és a körülírt kör középpontja egy egyenesbe esik.

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 3250. feladat.)

Megoldás:

Készítsünk rajzot!
Meg kell határoznunk a magasságpontnak, a köré írt kör középpontjának és a súlypontnak a koordinátáit.

Számítsuk ki először háromszög súlypontjának koordinátáit a tanult összefüggés segítségével, miszerint a súlypont koordinátái a csúcsok koordinátáinak számtani közepe.   ​\( S\left( \frac{-4+1+0}{3};\frac{0+0+3}{3} \right)=S\left( -1;1 \right) \)

Most a háromszög magasságpontjának a kiszámítását végezzük el. Az egyik magasságvonal maga az y tengely. Elég tehát mondjuk a B csúcsból induló magasságvonal egyenletét felírni. Ennek a magasságvonalnak a normálvektora az A és C pontokat összekötő vektor: n(0-(-4));3-0)=n(4;3).

Így a B csúcsból induló magasságvonal normálvektoros egyenlete: 4x+3y=4⋅1+3⋅0, azaz: 4x+3y=4.

A C csúcsból induló magasságvonalnak az egyenlete, ami most az y tengely: x=0. Ennek az egyenletrendszernek a megoldása: az első egyenletbe az x változó helyére behelyettesítjük a 0-t, és megkapjuk a magasságpont y koordinátájának értékét.A magasságpont koordinátái: ​\( M\left(0;\frac{4}{3} \right) \)​.

A köré írt kör középpontját a háromszög oldalfelezőinek metszéspontja adja. A háromszög AB oldalának felezési pontjának koordinátái az A és B csúcsok koordinátáinak számtani közepe:  ​\( F_{AB}\left(\frac{-4+1}{2};\frac{0+0}{2} \right)=F_{AB}\left(\frac{-3}{2};0 \right)=F_{AB}\left(-1.5;0 \right) \)​.

Mivel az AB oldal az x tengelyre esik, ezért felezőmerőlegese párhuzamos az y tengellyel, egyenlete tehát: x=-1,5.

Az AC oldal felezési pontja: ​\( F_{AC}\left(\frac{-4+0}{2};\frac{0+3}{2} \right)=F_{AC}\left(-2;\frac{3}{2} \right)=F_{AC}\left(-2;1.5 \right) \)​ .

Az AC oldal felezőmerőlegesének normálvektora megegyezik ugyanezen oldal magasságvonalának normálvektorával: n(4;3).
Így az AC oldal felezőmerőlegesének egyenlete: 4x+3y=4⋅(-2)+3*(1,5), vagyis 4x+3y=-3,5.
Az AB egyenes egyenlete x=-1,5 volt, az egyenletrendszert megoldva:
4⋅(-1,5)+3y=-3,5. Ebből 3y=2,5. Ebből tehát a köré írt kör középpontjának koordinátái: ​\( K\left(-\frac{3}{2};\frac{5}{6} \right) \)​.

Az M és S, valamint az S és K pontokat összekötő vektorok:

\( {\underline{v}}_{MS}\left(-1-0;1-\frac{4}{3} \right) ={\underline{v}}_{MS}\left(-1;-\frac{1}{3} \right) \)​ .

\( {\underline{v}}_{SK}\left( -\frac{3}{2}-(-1);\frac{5}{6}-1 \right)={\underline{v}}_{SK}\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{6} \right) \)​.

Mivel ez a két vektor párhuzamos egymással, hiszen 2⋅vSK=vMS, másrészt van közös pontjuk, az S súlypont, ezért az M, S és K pontok egy egyenesbe esnek. A példa azt is mutatja, hogy az S pont van az M és a K pont között, úgy, hogy harmadolja az MK távolságot és K-hoz van közelebb az Euler tételének megfelelően.

Megjegyzés: Speciális eset, hogy ebben a példában az Euler-egyenes átmegy a háromszög “A” csúcsán.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.