Egyenes normálvektorú egyenlete

Definíció:

A (xy) síkban egy egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, a zérusvektortól különböző bármely vektor.

Adott az egyenes egy P0(x0;y0) pontja, helyvektora ​\( \vec{r_0} \)​, és adott az egyenes ​\( \vec{n}(n_1;n_2) \)​  normálvektora.

Az egyenes egy tetszőleges pontja P(x;y). Ennek helyvektora ​\( \vec{r}(x;y). \)​ ​
A P pont bármely helyzetében a P0 pontból a P pontba mutató vektor egyenlő a pontok helyvektorainak különbségével: ​\( \overrightarrow{P_0P}=\vec{r}-\vec{r_{0}} \)​  így koordinátái: ​\( \overrightarrow{P_0P}=(x-x_{0};y-y_{0}) \).

Mivel ​\( \overrightarrow{P_0P} \)​ merőleges ​\( \vec{n} \)​ normálvektorra, ezért skaláris szorzatuk nulla.

\( \vec{n}·\overrightarrow{P_0P}=0 \)​, azaz ​\( \vec{n}·(\vec{r}-\vec{r_{0}})=0 \)​.

Ez az egyenes vektoregyenlete.

A gyakorlati alkalmazást megkönnyíti, ha a skaláris szorzatot koordinátákkal is felírjuk: n1(x-x0)+n2(y-y0)=0.

Az adott P0(x0;y0) ponton átmenő adott  ​\( \vec{n}(n_1;n_2) \)​   normálvektorú egyenes egyenlete tehát:

  n1x+n2y=n1x0+n2y0.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.