Definíció:
A (xy) síkban egy egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, a zérusvektortól különböző bármely vektor.
Adott az egyenes egy P0(x0;y0) pontja, helyvektora \( \vec{r_0} \), és adott az egyenes \( \vec{n}(n_1;n_2) \) normálvektora.
Az egyenes egy tetszőleges pontja P(x;y). Ennek helyvektora \( \vec{r}(x;y). \)
A P pont bármely helyzetében a P0 pontból a P pontba mutató vektor egyenlő a pontok helyvektorainak különbségével: \( \overrightarrow{P_0P}=\vec{r}-\vec{r_{0}} \) így koordinátái: \( \overrightarrow{P_0P}=(x-x_{0};y-y_{0}) \).
Mivel \( \overrightarrow{P_0P} \) merőleges \( \vec{n} \) normálvektorra, ezért skaláris szorzatuk nulla.
\( \vec{n}·\overrightarrow{P_0P}=0 \), azaz \( \vec{n}·(\vec{r}-\vec{r_{0}})=0 \).
Ez az egyenes vektoregyenlete.
A gyakorlati alkalmazást megkönnyíti, ha a skaláris szorzatot koordinátákkal is felírjuk: n1(x-x0)+n2(y-y0)=0.
Az adott P0(x0;y0) ponton átmenő adott \( \vec{n}(n_1;n_2) \) normálvektorú egyenes egyenlete tehát:
n1x+n2y=n1x0+n2y0.
Feladat
Írja fel a (6;-3) ponton átmenő és a P(-1;4), Q(2;5) pontokat összekötő egyenesre merőleges egyenes egyenletét!
(Összefoglaló feladatgyűjtemény 3219. feladat.)
Megoldás:
| 1. Alapadatok: A, P, Q pontok.
2. \( \overrightarrow{PQ} \) vektor a P és Q pontokon átmenő „f” egyenes irányvektora: vf=(3,1). 3. Mivel a keresett „m” egyenes erre merőleges, ezért a \( \overrightarrow{PQ} \)=vf vektor a keresett „m” egyenes normálvektora. \( \overrightarrow{PQ} \)=vf=nm.=(3,1). 4. Alkalmazzuk az egyenes egyenletének normálvektoros alakját: n1x+n2y=n1x0+n2y0. Itt x0=6, y0=-3 és n1=3 n2=1. Ezért az A(6;-3) ponton átmenő nm=(3,1) normálvektorú „m” egyenes egyenlete: 3x+y=3⋅6+1⋅(-3) 3x+y=15 |
 |
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.