Egyenes normálvektorú egyenlete

Definíció:

A (xy) síkban egy egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, a zérusvektortól különböző bármely vektor.

Adott az egyenes egy P0(x0;y0) pontja, helyvektora ​\( \vec{r_0} \)​, és adott az egyenes ​\( \vec{n}(n_1;n_2) \)​  normálvektora.

Az egyenes egy tetszőleges pontja P(x;y). Ennek helyvektora ​\( \vec{r}(x;y). \)​ ​
A P pont bármely helyzetében a P0 pontból a P pontba mutató vektor egyenlő a pontok helyvektorainak különbségével: ​\( \overrightarrow{P_0P}=\vec{r}-\vec{r_{0}} \)​  így koordinátái: ​\( \overrightarrow{P_0P}=(x-x_{0};y-y_{0}) \).

Mivel ​\( \overrightarrow{P_0P} \)​ merőleges ​\( \vec{n} \)​ normálvektorra, ezért skaláris szorzatuk nulla.

\( \vec{n}·\overrightarrow{P_0P}=0 \)​, azaz ​\( \vec{n}·(\vec{r}-\vec{r_{0}})=0 \)​.

Ez az egyenes vektoregyenlete.

A gyakorlati alkalmazást megkönnyíti, ha a skaláris szorzatot koordinátákkal is felírjuk: n1(x-x0)+n2(y-y0)=0.

Az adott P0(x0;y0) ponton átmenő adott  ​\( \vec{n}(n_1;n_2) \)​   normálvektorú egyenes egyenlete tehát:

  n1x+n2y=n1x0+n2y0.

Feladat

Írja fel a (6;-3) ponton átmenő és a P(-1;4), Q(2;5) pontokat összekötő egyenesre merőleges egyenes egyenletét!

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 3219. feladat.)

Megoldás:

1.     Alapadatok: A, P, Q pontok.

2.     ​\( \overrightarrow{PQ} \)​ vektor a P és Q pontokon átmenő „f” egyenes irányvektora: vf=(3,1).

3.     Mivel a keresett „m” egyenes erre merőleges, ezért a ​​\( \overrightarrow{PQ} \)​=vf vektor a keresett „m” egyenes normálvektora. ​​\( \overrightarrow{PQ} \)=vf=nm.=(3,1).

4.     Alkalmazzuk az egyenes egyenletének normálvektoros alakját: n1x+n2y=n1x0+n2y0. Itt x0=6, y0=-3 és n1=3 n2=1. Ezért az A(6;-3) ponton átmenő nm=(3,1) normálvektorú „m” egyenes egyenlete:

3x+y=3⋅6+1⋅(-3)

3x+y=15

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.