A parabola egyenlete

A  parabola egyenletének meghatározásához induljunk ki a parabola definíciójából!

Definíció:

A parabola azoknak a pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík egy adott egyenesétől (vezéregyenes) és a sík egy adott (a vezéregyenesre nem illeszkedő) pontjától (fókusz) egyenlő távolságra vannak.
A fókuszpont és a vezéregyenes távolsága a parabola paramétere. (p).

Formulával: parabola={P|d(P,v)=d(P,F).

Nézzük azt a parabolát,  amely úgy helyezkedik el a derékszögű koordináta rendszerben, hogy a parabola tengelye az y tengely (ordinátatengely), tengelypontja pedig a koordinátarendszer kezdőpontja az origó és a parabola fókusz pontja az y tengely pozitív felére esik.

A feltétel szerint a parabola fókusza: ​\( F\left( 0;\frac{p}{2} \right) \)​, akkor a parabola vezéregyenesének (v) az egyenlete: ​\( y=-\frac{p}{2} \)​.

Megjegyzés:

A parabola definíciójának megfelelően fel kell írni a P pontnak a távolságát a v vezéregyenestől és a P pont távolságát az F fókusztól. Ennek a két távolságnak az egyenlőségéből kapjuk majd a parabola egyenletét.

1. P(x;y) pont távolsága a vezéregyenestől: d(P;v).
Ez a távolság két részből adódik össze:

A pontnak az x tengelytől (abszcisszatengely) való távolsága. (ez az y koordináta értéke).

 Az x tengelynek a vezéregyenestől való távolsága.

Így tehát ​\( d(p;v)=\left|y+\frac{p}{2} \right| \)​, hiszen távolság nem lehet negatív.

2. P(x;y) pont távolsága a fókusztól: d(P;F).

Itt felhasználjuk a két pont távolságára tanult összefüggést: ​\( d(P;F)=\sqrt{x^2+\left(y-\frac{p}{2}\right)^2 } \)​

 

A két távolságnak a parabola definíciója szerint meg kell egyeznie: d(P;v)=d(P;F).

Azaz: 
Az egyenletet négyzetre emelve:

Mindkét oldalon felbontva a zárójeleket:
Az egyenlet mindkét oldalán megegyező tagok kiesnek: x²-py=py.
Az egyenletet rendezve: x²=2py.

És ezt kellett bizonyítani.

Kiegészítés

Ha a parabola tengelye párhuzamos az y tengellyel és tengelypontja nem az origó, hanem T(u;v) koordinátájú pont, akkor a parabola egyenlete: ​\( y=\frac{1}{2p}(x-u)^2+v \)​.

Legyen például a parabola paramétere: p=2, a tengelypontja: T(3;-1).

Így fókusza: F(3;0), egyenlete:  ​\( y=\frac{1}{4}(x-3)^2-1 \)​. Ennek grafikonja:

Megjegyzés:

Szokás a fenti egyenletet y-ra rendezve a következő alakba írni: ​\( y=\frac{1}{2p}x^2 \)​. Itt az ​\( \frac{1}{2p} \)​ együtthatóból a parabola meredeksége következik.

Nézzük most a legegyszerűbb másodfokú függvényt, az f(x)=x² függvény grafikonjának az egyenletét. Ez y=x² alakú.

A mellékelt ábrán az y=x²  egyenletű parabolát láthatjuk.

Ennek a parabolának a paraméterére a fentiek értelmében a következőt kapjuk: ​\( \frac{1}{2p}=1 \)​. Ebből pedig ​\( p=\frac{1}{2} \)​.

Így a fókuszpont koordinátái: ​\( F\left( 0;\frac{1}{4} \right) \)​.
Ezen parabola vezéregyenesének egyenlete: ​\( y=-\frac{1}{4} \)​.

Feladat:

Írja fel annak a parabolának az egyenletét, amelynek tengelye az y tengely, tengelypontja az origó és fókusza a (0;3) pont.

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 3398. feladat.)

Megoldás:

A feltételeknek megfelelő helyzetű p paraméterű parabola fókusza:  ​\( F\left( 0;\frac{p}{2} \right) \)​.

A feltétel szerint viszont F(0;3). Ebből p=6 következik.

Így a parabola általános ​\( y=\frac{1}{2p}·x^2 \)​ egyenletét felhasználva: ​\( y=\frac{1}{12}·x^2 \)  adódik.

Ennek grafikonja: