Definíció:
Az f:ℝ→ℝ,f(x) másodfokú függvény általános alakja: f(x)=ax2+bx+c, ahol a, b és c valós értékű paraméterek. (a∈ℝ és a≠0, b∈ℝ, c∈ℝ)
A másodfokú függvény grafikonja egy olyan parabola, amelynek a szimmetriatengelye párhuzamos az y tengellyel. Ennek a parabolának általános egyenlete tehát: y=ax2 +bx+c.
A legegyszerűbb másodfokú függvény paraméterei: a=1, b=0, c=0.
Ekkor a függvény képlete: f(x)=x2.
Ennek grafikonja:
Az f(x)=x2 függvény jellemzése:
Értelmezési tartomány: | x∈ℝ. |
Értékkészlet: | y=x2∈R|y≥0. |
Zérushelye: | Az x2=0 egyenlet megoldása: x=0. |
Menete, monotonitása: | Szigorúan monoton csökken, ha x<0 és szigorúan monoton nő, ha x>0. |
Szélsőértéke: | Minimum, x=0, y=0. |
Korlátos: | Általános értelemben nem, alulról igen: k=0. |
Páros vagy páratlan: | Páros. |
Periodikus: | Nem. |
Konvex/konkáv: | Konvex. |
Folytonos: | Igen. |
Inverz függvénye: | Van, ha x≥0. Ez a \( \sqrt{x} \) négyzetgyök függvény. |
Legyenek most a másodfokú függvény paraméterei például: a=1, b=6, c=5.
Ekkor függvény képlete: f(x)=x2+6x+5.
Ez teljes négyzetté alakítás után a következő transzformációs alakra hozható: f(x)=(x+3)2-4.
Az f(x)=x2 függvény el van tolva az „x” tengely mentén balra 3 egységgel és le van tolva az „y” tengely mentén 4 egységgel.
Az f(x)=(x+3)2-4 függvény grafikonja:
Az f(x)=x2+6x+5 =(x+3)2-4 függvény jellemzése:
Értelmezési tartomány: | x∈ℝ. |
Értékkészlet: | y=x2∈R|y≥-4. |
Zérushelye: | Az x2+6x+5=0 másodfokú egyenlet megoldása után: Z1(-5;0) és Z2(-1;0) |
Menete, monotonitása: | Szigorúan monoton csökken, ha x<-3 és szigorúan monoton nő, ha x>-3. |
Szélsőértéke: | Minimum, T(-3;-4) |
Korlátos: | Általános értelemben nem, alulról igen: k=-4. |
Páros vagy páratlan: | Egyik sem. |
Periodikus: | Nem. |
Konvex/konkáv: | Konvex. |
Folytonos: | Igen. |
Inverz függvénye: | Van, ha x≥-4. Ez a \( \sqrt{x+4}-3 \) négyzetgyök függvény. |
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.