A másodfokú függvény és jellemzése

Definíció:

Az f:ℝ→ℝ,f(x) másodfokú függvény általános alakja: f(x)=ax2+bx+c, ahol a, b és c valós értékű paraméterek. (a∈ℝ és a≠0, b∈ℝ, c∈ℝ)

A másodfokú függvény grafikonja egy olyan parabola, amelynek a szimmetriatengelye párhuzamos az y tengellyel. Ennek a parabolának általános egyenlete tehát: y=ax2 +bx+c.

A legegyszerűbb másodfokú függvény paraméterei: a=1, b=0, c=0.
Ekkor a függvény képlete: f(x)=x2.

Ennek grafikonja:

Az f(x)=x2 függvény jellemzése:

Értelmezési tartomány: x∈ℝ.
Értékkészlet: y=x2∈R|y≥0.
Zérushelye: Az x2=0 egyenlet megoldása: x=0.
Menete, monotonitása: Szigorúan monoton csökken, ha x<0 és szigorúan monoton nő, ha x>0.
Szélsőértéke: Minimum, x=0, y=0.
Korlátos: Általános értelemben nem, alulról igen: k=0.
Páros vagy páratlan: Páros.
Periodikus: Nem.
Konvex/konkáv: Konvex.
Folytonos: Igen.
Inverz függvénye: Van, ha x≥0. Ez a ​\( \sqrt{x} \)​ négyzetgyök függvény.

Legyenek most a másodfokú függvény paraméterei például: a=1, b=6, c=5.
Ekkor függvény képlete: f(x)=x2+6x+5.
Ez teljes négyzetté alakítás után a következő transzformációs alakra hozható: f(x)=(x+3)2-4.
Az  f(x)=x2 függvény el van tolva az “x” tengely mentén balra 3 egységgel és le van tolva az “y” tengely mentén 4 egységgel.

Az  f(x)=(x+3)2-4 függvény grafikonja:

Az f(x)=x2+6x+5 =(x+3)2-4 függvény jellemzése:

Értelmezési tartomány: x∈ℝ.
Értékkészlet: y=x2∈R|y≥-4.
Zérushelye: Az x2+6x+5=0 másodfokú egyenlet megoldása után: Z1(-5;0) és Z2(-1;0)
Menete, monotonitása: Szigorúan monoton csökken, ha x<-3 és szigorúan monoton nő, ha x>-3.
Szélsőértéke: Minimum, T(-3;-4)
Korlátos: Általános értelemben nem, alulról igen: k=-4.
Páros vagy páratlan: Egyik sem.
Periodikus: Nem.
Konvex/konkáv: Konvex.
Folytonos: Igen.
Inverz függvénye: Van, ha x≥-4. Ez a ​\( \sqrt{x+4}-3 \)​ négyzetgyök függvény.

Az f(x)= x2+6x+5 =(x+3)2-4 másodfokú függvény és inverzének, a ​\( g(x)=\sqrt{x+4}-3 \)​ négyzetgyök függvénynek a grafikonja.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.