Tetszőleges szög szinusza, koszinusza

Az ​\( \vec{i} \) és ​\( \vec{j} \) bázisvektorok által meghatározott (xy) koordináta-rendszerben az  ​\( \vec{i} \)  egységvektortól ß szöggel elforgatott ​\( \vec{e} \) egységvektor meghatároz egy P pontot az egységsugarú kör kerületén.

Definíciók:

Egy ß szög szinusza a koordinátasíkon az \( \vec{i} \)  egységvektortól ß szöggel elforgatott \( \vec{e} \)   egységvektor második (y) koordinátája.
Egy ß szög koszinusza a koordinátasíkon az \( \vec{i} \)  egységvektortól ß szöggel elforgatott \( \vec{e} \)  egységvektor első (x) koordinátája.

Tehát:  \( \vec{e} \) =cosß\( \vec{i} \) +sinß​\( \vec{j} \)​, azaz P(cosß;sinß).

 

 

 

 

 

A.) Amennyiben az elforgatott egységvektor valamelyik koordináta tengelyre esik, akkor a koordináták egyértelműen meghatározhatók.

1. Ha ß=0° , akkor nem történt forgatás, így az ​\( \vec{i} \)​i egységvektor által meghatározott pont P(1;0).
Tehát cos0°=1 és sin0°=0.
2. Ha ß=90° , akkor az elforgatott egységvektor az y (ordináta) tengely pozitív felére esik, ennek a pontnak a koordinátái P(0;1).
Így tehát cos90°=0 és sin90°=1.
3. Ha ß=180° , akkor az elforgatott egységvektor az x (abszcissza) tengely negatív felére esik, ennek a pontnak a koordinátái P(-1;0).
Így tehát cos180°=-1 és sin180°=0.
4. Ha ß=270° , akkor az elforgatott egységvektor az y (ordináta) tengely negatív felére esik, ennek a pontnak a koordinátái P(0;-1).
Így tehát cos270°=0 és sin270°=-1.
Ha ß=360° , akkor az elforgatott egységvektor az x (abszcissza) tengely pozitív felére esik, ennek a pontnak a koordinátái P(1;0). Ez az eset megegyezik a ß=0 esettel.
Így tehát cos360°=1 és sin360°=0.

B.) Amennyiben az elforgatott egységvektor nem esik a tengelyekre, akkor az így kapott koordinátákat, azaz a szinusz és koszinusz szögfüggvényértékeket a következő módon számítjuk ki:

A koordináták hosszát a mellékelt ábra jelölései szerint az OPT derékszögű háromszögből számíthatjuk ki a hegyesszögek szögfüggvényeinek segítségével.
Ezt követően meg kell határoznunk az adott szöghöz tartozó koordináták, azaz az adott szög szinuszának, illetve koszinuszának előjelét.
Mivel a szinusz a függőleges, a koszinusz a vízszintes koordináta, ezért ezek előjeleit az egyes síknegyedekben a következő ábra szemlélteti:

Szinusz, koszinusz szögfüggvény értékének meghatározása.

Szög	Helyettesítő hegyesszög	Szinusz előjele	Koszinusz előjele
0°		0	1
0° <ß<90°		+	+
90°		1	0
90° <ß<180°	180° -ß	+	–
180°		-1	0
180° <ß<270°	ß-180°	–	–
270°		0	-1
270° <ß<360°	360° -ß	–	+
360°		0	1