Bázisvektorok

Tétel:

Ha felveszünk a a síkon két tetszőleges ​\( \vec{a} \)​ és ​\( \vec{b} \)​ nem egyállású, O kezdőpontú vektort, akkor bármely velük egysíkú \( \vec{v} \)​ vektor egyértelműen felbontható az adott vektorokkal egyállású összetevőkre. 
Azaz egyértelműen felírható: ​\( \overrightarrow{OP}=\vec{v}=k_{1}·\vec{a}+k_{2}·\vec{b} \), ahol k₁;k₂ tetszőleges valós számok.

Az ​\( \vec{a} \)​ és ​\( \vec{b} \)​  vektorokat bázisvektoroknak, az O pontot vonatkoztatási pontnak szokás nevezni. (Ez egy tágabb értelmezés.)

Mivel a síkon bázisvektornak két tetszőleges nem egyállású vektor megfelel, célszerű bázisvektoroknak egységnyi hosszúságú, egymásra merőleges vektorokat választani.

Definíció:

Szűkebb értelemben bázisvektoroknak nevezzük azokat az \( \vec{i} \)​   és \( \vec{j} \)​ egységnyi hosszúságú, egymásra merőleges vektorokat, ahol az \( \vec{i} \)​vektort +90°-os forgatás viszi át \( \vec{j} \)​ vektorba.

Az \( \vec{i} \)​  és \( \vec{j} \)​  közös kezdőpontja a vonatkoztatási pont, az origó.

A közös kezdőpontú \( \vec{i} \)​  és \( \vec{j} \)​  bázisvektorok a Descartes féle koordináta rendszert határozzák meg.
A közös kezdőpont, a vonatkoztatási pont, a koordináta-rendszer kezdőpontja. (origó)
Ebben a koordináta-rendszerben a ( k₁; k₂) számpárt egyaránt mondjuk a P pont illetve az O pontból a P pontba mutató helyvektor koordinátáinak.

A mellékelt ábrán az origóból az A illetve B pontba mutató \( \vec{a} \)​ illetve \( \vec{b} \)​ vektorok helyvektorok, az A és a B pontok helyvektorai.

A B pontból az A pontba mutató \( \vec{v} \)​  vektor nem helyvektor, szabad vektornak nevezzük. Ez a \( \vec{v} \)​ vektor az \( \vec{a} \)​ és \( \vec{b} \)​  helyvektorok különbsége. \( \vec{v} \)​ ​=\( \vec{a} \)​-\( \vec{b} \).
Minden szabadvektornak megfeleltethető egy helyvektor, amelyik párhuzamos vele, egyenlő hosszú és irányú, de a kezdőpontja az origó.

Az egyes helyvektorok összeg- illetve különbségvektorának a koordinátái a pontok helyvektorainak megfelelő koordinátáinak összege illetve különbsége.
\( \vec{v} \)​(v₁;v₂)=>v₁=a₁-b₁; v₂=a₂-b₂ => \( \vec{v} \)​(a₁-b₁;a₂-b₂)

Ezek a fogalmak hasonló módon értelmezhetők három dimenzióra is.