Összetett számok

Definíció:

Összetett számoknak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek 2-nél több, de véges számú osztója van.

Az összetett számok vizsgálata is sok érdekes tényre vezette a matematikusokat.

Ilyen például az, hogy minden 2-nél nagyobb páros számot felírhatunk két prímszám összegeként. Például 12=7+5; 20=7+13, 98=19+79, stb.

Ezt a megfigyelést Goldbach sejtésnek nevezik, amelyet sem cáfolni, sem bizonyítani nem sikerült eddig.

Pitagorasz és követői a püthagoreusok a számok között különleges számok után kutattak. Pitagoraszék szerint a számok tökéletessége a szám osztóitól függ.

• Ha a szám osztóinak (kivéve magát a számot) összege kisebb, mint a szám akkor hiányos számról beszélünk. Például: 15 osztói: 1,3,5. Ezek összege=1+3+5=9. Tehát a 15 hiányos szám.

o Alig-alig (kissé) hiányosnak mondunk egy számot, ha nálánál kisebb osztóinak összege éppen 1-gyel kevesebb a számnál. Ilyen például a 8, mert osztói: 1,2,4. Ezek összege 1+2+4=7. Az összes kettő hatvány ilyen. Tehát végtelen sok kissé hiányos szám van.

• Ha a szám osztóinak összege (kivéve magát a számot) nagyobb a számnál, akkor azt a számot bővelkedő számnak nevezték, nevezzük. Például 18 osztói=1;2;3;6;9 Ezek összege=1+2+3+6+9=21. Tehát a 18 bővelkedő szám.

o Alig-alig bővelkedő egy szám, ha a nálánál kisebb osztóinak összege éppen 1-gyel nagyobb, mint maga a szám. Példa nincs, mert nyitott kérdés, hogy létezik-e alig-alig bővelkedő szám.

• Ha a szám osztóinak (kivéve magát a számot) összege éppen a számmal egyenlő. akkor ezeket a számokat tökéletes számoknak nevezzük.

Például: 6 (6-nál kisebb) osztói: 1;2;3. Ezek összege=1+2+3=6. Tehát a 6 tökéletes szám. A következő tökéletes szám a 28. 28 osztói: 1 ;2; 4; 7; 14. Ezek összege: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Érdekes megfigyelés, hogy a Hold 28 nap alatt kerüli meg a Földet. A Bibliában azt olvashatjuk, hogy Isten 6 nap alatt teremtette a Földet. Szent Ágoston „Az Isten városa” című könyvében azzal érvel, hogy Isten azért teremtett 6 „nap” alatt a világot, hogy ezzel is kifejezze a világegyetem tökéletességét.
Később egyre ritkábbak a tökéletes számok. A harmadik a 496, a negyedik pedig a 8128.

Pitagorasz mélyebb tartalmat is keresett ebben. Egyik észrevétele az volt, hogy a tökéletesség és a kettősség valamilyen módon kapcsolódik egymáshoz.

Eukleidész két évszázaddal később már kimutatta, hogy az ismert tökéletes számok előállíthatók két olyan szám szorzataként, ahol az egyik 2 hatvány, a másik pedig 1 híján a rákövetkező 2 hatvány. Például: 28=2² (2³-1)=4⋅7.

Euler bebizonyította, hogy minden páros tökéletes szám 2^k⋅p alakban írható, ahol p=2^k+1-1 prímszám, vagyis a tökéletes számok 2^k⋅(2^k+1-1) alakúak. Ez természetesen nem jelenti azt, hogy minden 2^k⋅(2^k+1-1) tökéletes szám, hiszen k=3 esetén 2³⋅(2⁴-1)=8⋅15=120 nem tökéletes szám.

Az ötödik tökéletes számot Regiomontanus találta meg. Ez a 2¹²(2¹³-1)=33 550 336. Ha a többi ismert tökéletes szám is érdekelne, katt ide.

Pitagoraszék barátságos számoknak nevezték azokat, amelyeknél az egyik szám önmagánál kisebb osztóinak összege egyenlő a másik számmal. Ilyen például a (220; 284) számpár. 220 osztói: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. És 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 284 osztói: 1, 2, 4, 71, 142. És 1+2+4+71+142=220. Következő barátságos számpár a (1184;1210).

Fermat fedezte fel a (17 296;18 416), Descartes pedig a (9 363 584; 9 437 056) párt. Euler további 61 párt talált. Számítógéppel további számpárokat is találtak. Érdekes megfigyelés, hogy a barátságos számok mindkét száma azonos paritású. Még nincs bizonyítva. Mint ahogy az a sejtés sem, hogy a számpárok növekedésével a barátságos számok hányadosa az 1-hez közeledik.

A XX. században a matematikusok továbbfejlesztették a barátságos számok fogalmát három vagy több számra és az ebben az értelemben zárt körbe tartozó számokat társas számoknak nevezték el. Például: (12496; 14288; 15472; 14636;14264) Itt fontos a sorrend. Az első szám önmagánál kisebb osztóinak összege a második számmal egyenlő, és így tovább.