A másodfokú egyenlet általános alakja: \( ax^{2}+bx+c=0 \), ahol (a≠0).
Az ilyen alakra hozott egyenleteknek a megoldását legegyszerűbben a másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével végezzük el.
Eszerint, ha a másodfokú egyenlet diszkriminánsa nem negatív, azaz \( b^{2}-4ac≥0 \), akkor az egyenletnek van megoldása a valós számok között, és azokat a következő formulákkal kaphatjuk meg:
Egyik gyök:
Másik gyök:
Tömörebben írva:
Adjuk össze a két gyököt:
Itt az ellentétes előjelű gyökös tagok kiesnek, majd 2-vel egyszerűsítve, így: \( x_{1}+x_{2}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a} \)
Tehát a másodfokú egyenlet két gyökének összege: \( x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} \)
Most nézzük a másodfokú egyenlet két gyökének a szorzatát!
A számlálók szorzata két tag összegének és különbségének szorzata, így alkalmazhatjuk rá az (x-y)(x+y)=x2-y2 azonosságot: 
Az összevonás és egyszerűsítés után kapjuk: \( x_{1}·x_{2}=\frac{c}{a} \)
A másodfokú egyenlet gyökeinek összegére és szorzatára vonatkozó formulák tehát:
\( x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \) és \( x_{1}·x_{2}=\frac{c}{a} \)
A kapott összefüggéseket szokás Viéte formuláknak is nevezni, Viéte francia matematikus tiszteletére.
A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja
Legyen az ax2+bx+c=0, ahol (a≠0) másodfokú egyenletnek két zérushelye (gyöke) x1 és x2.
Írjuk fel a következő szorzatot: a⋅(x-x1)(x-x1)=0.
Mivel egy szorzat csak akkor lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla, ezért ennek az a(x-x1)(x-x1)=0 egyenletnek csak az x1 és x2 a gyökei.
Bontsuk fel a zárójeleket: a⋅[x2-x⋅ x1-x⋅ x2+ x1⋅x2]=a⋅[x2-(x1+x2)x+ x1⋅x2]=a⋅x2-a⋅(x1+x2)x+a⋅ x1⋅x2=0.
Felhasználva a gyökök és együtthatók közötti összefüggést: \( x_1+x_2=-\frac{b}{a} \), és x_1·x_2=\frac{c}{a}, a behelyettesítés után kapjuk:\( a·x^2-a·\left( -\frac{b}{a}\right) ·x+a·\frac{c}{a}=0 \) .
Ez pedig megegyezik a másodfokú egyenlet általános alakjával: ax2+bx+c=0.
Az x1 és x2 gyökökkel rendelkező másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja tehát:
ax2+bx+c=a⋅(x-x1)⋅(x-x2)=0.
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.