Kerületi és középponti szögek tétele 

Középponti szög fogalma:

A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (w) a körvonalból egy körívet (AB ív), a körlapból egy körcikket (AOB) határoz meg. Az AB ív a körüljárás irányával együtt határozza meg egyértelműen a középponti szöget. A melléklet ábrákon két középponti szöget látunk, az egyik hegyes (AB ív pozitív irányítású), másik konkáv szög. (Itt AB ív negatív irányítású).

Adott körben a középponti szögek nagysága és a hozzájuk tartozó körív hosszak egyenes arányosak.

Ebből következik, hogy az ív hossza, a hozzátartozó középponti szög, a kör kerülete és a teljes szög között az alábbi aránypár írható fel: ​\( i:K_{kör}=ω:360° \)​

A középponti szög és a hozzátartozó körív hossza között fennálló egyenes arányosság teszi lehetővé a szög mérését ívmértékben. (radiánban). Ekkor a 360°-nak a 2π radián felel meg. (Az egységsugarú kör kerülete, mint ívhossz.)

Adott körben a középponti szögek nagysága és a hozzájuk tartozó körcikkek területe körcikk területe egyenesen arányosak. Így körcikk területe, a hozzátartozó középponti szög, a kör területe és a teljes szög között az alábbi aránypár írható fel: ​\( t_{körcikk}:T_{kör}=ω:360° \)​

Kerületi szög fogalma:

A kerületi szög értelmezésénél két esetet kell megkülönböztetni.

1. A körben a kerületi szög (α) csúcsa (P) a kör kerületén van, a szög két szára a kör két húrja, illetve azok félegyenese. A két húr a kör kerületéből egy ívet (AB) metsz ki.

 

Az AB ív a körüljárás irányával együtt határozza meg egyértelműen a kerületi szöget. A jobb oldali ábrán két kerületi szöget látunk, az egyik hegyes (AB ív pozitív körüljárású), másik tompaszög. (Itt AB ív negatív körüljárású).

2. A körben a kerületi szög (α) csúcsa (B) a kör kerületén van, a szög egyik szára a kör húrja (illetve annak félegyenese), a másik szára a kör érintője. A húr a kör kerületéből a szög csúcsával (B) együtt egy ívet (AB) metsz ki.

Az AB ív a körüljárás irányával együtt határozza meg egyértelműen a kerületi szöget. A mellékelt ábrákon két kerületi szöget látunk, az egyik hegyes (AB ív pozitív körüljárású), másik tompaszög. (Itt AB ív negatív körüljárású).

Adott körben adott AB ívhez (húrhoz) adott irányultság mellett egy középponti szög és végtelen sok kerületi szög tartozik. Adott körben adott ívhez tartozó kerületi és középponti szögek között kapcsolat van.

Tétel:

Egy körben az azonos ívhez tartozó középponti és kerületi szögek aránya 2:1.

Azaz egy kör adott (AB) ívéhez tartozó kerületi szög (α) feleakkora, mint az ugyanezen (AB) ívhez tartozó középponti szög (ω). Azaz: ω=2α.

Bizonyítás:

Mivel a kerületi szögek különféle helyzetűek lehetnek, ezért a tétel bizonyítása több lépésben történik, úgy ahogy annak idején Bolyai Farkas, a nagy magyar matematikus tette.

1. Kerületi szög egyik szára érintő, és α<90°

Az EOA egyenlőszárú háromszög (szárai a kör sugara) EA oldalhoz tartozó OF magassága felezi az ω középponti szöget, azaz EOF szög=FOA szög= ω/2.

Az a szög és az EOF szög merőleges szárú hegyesszögek, így egyenlők, tehát: EOF szög= ω/2=a, ezért ω=2α.

2.  Kerületi szög egyik szára érintő, és α>90°.

Az előzőekből viszont tudjuk, hogy a szög ß mellékszögéhez (α =180°-β) tartozó középponti szög 2β, így ω=360° -2β, azaz ω=2(180° -β)=2α, tehát: ω=2α.

3. Kerületi szög egyik szára érintő, és α=90°. Ekkor a kerületi szög másik szára (EA) kör átmérője, így ω=180° Tehát ebben az esetben is teljesül, hogy ω=2α.

4. Kerületi szög mindkét szára húr.

Húzzuk meg a kerületi szög E csúcsában a kör érintőjét. Ekkor két érintőszárú kerületi szög is keletkezik: α₁ és α₂.
Ezekhez tartozó középponti szögek (AOE, ill. BOE) a fenti esetekből következően 2α₁ és 2α₂.

A kerületi szögek együtt: α₁+α+α₂=180°.  A középponti szögek együtt: 2α₁+ω+2α₂=360°. Ezt osztva 2-vel: α₁+ω/2+α₂=180°. A két egyenlőségből következik, hogy ω/2=α

Azaz ebben az esetben is: ω=2α.

Thalesz tétele a kerületi és középponti szögek tételének egy speciális esete, amikor az α kerületi szög éppen 90°, így az ω középponti szög 180°.

Egy adott körben egy adott körívhez (ill. húrhoz) egyetlen középponti szög és végtelen sok kerületi szög tartozik. Mivel a fenti tétel értelmében mindegyik fele az ugyanazon középponti szög felével, ebből következik a kerületi szögek tétele.

Feladat:

Az ABC háromszög csúcspontjai a háromszög köré írt kört 3:4:5 arányú ívekre bontják. Mekkorák a háromszög szögei?

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 1750. feladat.)

Megoldás:

A mellékelt ábra jelölései szerint AB ív =i₁, BC ív =i₂, CA ív =i₃.
Feltételek szerint i₁:i₂:i₃=3:4:5.

Ennek megfelelően az ezekhez az ívekhez tartozó középponti szögek aránya is ugyanennyi, azaz ω ₁:ω₂:ω₃=3:4:5.

Arányos osztással
ω ₁=(360°*3):(3+4+5)=90°, ω ₂=(360°*4):(3+4+5)=120°,
ω ₃=(360°*5):(3+4+5)=150°
A kerületi és középponti szögek értelmében az ABC háromszög szögei tehát:
α=ω ₂/2=120°/2=60°,
β=ω ₃/2=150°/2=75°,
γ=ω ₁/2=90°/2=45°.