Hipergeometrikus eloszlás

Példa:

Egy dobozban 10 darab piros és 8 darab kék golyó van. Véletlenszerűen kiveszünk (egyszerre vagy egymás után visszatevés nélkül) 5 golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott öt darab között három piros golyó van?

Megoldás:

Ez visszatevés nélküli mintavétel.

18 golyónk van. Ebből 5 -t kiválasztani (egyszerre vagy egymás után visszatevés nélkül) \( \binom{18}{5}=8568 \) féleképpen lehetséges. (Összes eset)

A 10 darab piros golyóból hármat \( \binom{10}{3}=120 \) módon, míg a 8 darab kék színűből 2-t \( \binom{8}{2}=28 \) féleképpen lehet kihúzni.

Tehát a keresett valószínűség:

\( \frac{\binom{10}{3}·\binom{8}{2}}{\binom{18}{5}}=\frac{120·28}{8568}≈0.39 \)

Ha ezt a kérdést egy picit általánosabban tesszük fel, azaz:
Mi a valószínűsége, hogy ötből „k”-szor piros golyót húztunk? (0≤k≤5)

Megoldás:

Valószínűségi változó		Eloszlás, várható érték és szórás
Esemény	x_i	P(ξ=x_i)	x_i×P(ξ=x_i)	ξ-M(ξ)	η=(ξ-M(ξ))²	η×P(ξ=x_i)
0 db. piros	0	0,00654	0,000	-2,778	7,716	0,05
1 db. piros	1	0,08170	0,082	-1,778	3,160	0,26
2 db. piros	2	0,29412	0,588	-0,778	0,605	0,18
3 db. piros	3	0,39216	1,176	0,222	0,049	0,02
4 db. piros	4	0,19608	0,784	1,222	1,494	0,29
5 db. piros	5	0,02941	0,147	2,222	4,938	0,15
		Várható érték: M(ξ)=	2,778			0,94
		Kerekítve:	3	Szórás: D(ξ)=		0,9716

Definíció:

A ξ valószínűségi változót hipergeometrikus eloszlásúnak nevezzük, ha ξ lehetséges értékei {0; 1; 2; …n) és eloszlása \( P(ξ=k)=\frac{\binom{M}{k}·\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} \), ahol p valószínűség 1-nél nem nagyobb nemnegatív valós szám (p∈ℝ|0≤p≤1) és k lehetséges értékei {0; 1; 2; …n). ( k∈N|0≤k≤n) és n≤M≤N.

A hipergeometriai eloszlás paraméterei: N; n; M.
N: az összes elem száma n: a kiválasztott elemek száma M: az adott tulajdonsággal rendelkező elemek száma.
A fenti golyós példa esetén: N : 18 darab golyó n: 5 darabot választunk M: 10 a kiválasztható pirós golyók száma.

Tétel:

Az „N”; „n” és „M” paraméterű hipergeometriai eloszlású valószínűségi változó várható értéke:

\( M(ξ)=n·\frac{M}{N} \).

A fenti golyós példa esetén: \( M(ξ)=5·\frac{10}{18}≈2,778 \).

Tétel:

Az „N”; „n” és „M” paraméterű hipergeometriai eloszlású valószínűségi változó szórása: \( D(ξ)=\sqrt{n·\frac{M}{N}·\left(1-\frac{M}{N}\right)·\left( \frac{N-n}{N-1} \right) } \) .

A fenti golyós példa esetén: \( D(ξ)=\sqrt{5·\frac{10}{18}·\left(1-\frac{10}{18}\right)·\left( \frac{18-5}{18-1} \right) }≈0,9716 \).

Megjegyzés:

Ha „N” és az „M” sokkal nagyobb(??!), mint az „n”, akkor elhanyagolható a különbség a visszatevéses és a visszatevés nélküli eset között. Ilyenkor számolhatunk a hipergeometriai eloszlás helyett a és „n” paraméterű binomiális eloszlásra vonatkozó összefüggésekkel.

A fenti példa ábrázolása grafikonon:

Post Views: 8 186