Hipergeometrikus eloszlás

Példa:

Egy dobozban 10 darab piros és 8 darab kék golyó van. Véletlenszerűen kiveszünk (egyszerre vagy egymás után visszatevés nélkül) 5 golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott öt darab között három piros golyó van?

Megoldás:

Ez visszatevés nélküli mintavétel.

18 golyónk van. Ebből 5 -t kiválasztani (egyszerre vagy egymás után visszatevés nélkül) ​\( \binom{18}{5}=8568 \)​ féleképpen lehetséges. (Összes eset)

A 10 darab piros golyóból hármat ​\( \binom{10}{3}=120 \)​ módon, míg a 8 darab kék színűből 2-t ​\( \binom{8}{2}=28 \)​ féleképpen lehet kihúzni.

Tehát a keresett valószínűség:

\( \frac{\binom{10}{3}·\binom{8}{2}}{\binom{18}{5}}=\frac{120·28}{8568}≈0.39 \)

Ha ezt a kérdést egy picit általánosabban tesszük fel, azaz:
Mi a valószínűsége, hogy ötből “k”-szor piros golyót  húztunk? (0≤k≤5)

Megoldás:

Valószínűségi változó Eloszlás, várható érték és szórás
Esemény xi P(ξ=xi) xi×P(ξ=xi) ξ-M(ξ) ξ=(ξ-M(ξ))2 h×P(ξ=xi)
0 db. piros 0 0,00654 0,000 -2,778 7,716 0,05
1 db. piros 1 0,08170 0,082 -1,778 3,160 0,26
2 db. piros 2 0,29412 0,588 -0,778 0,605 0,18
3 db. piros 3 0,39216 1,176 0,222 0,049 0,02
4 db. piros 4 0,19608 0,784 1,222 1,494 0,29
5 db. piros 5 0,02941 0,147 2,222 4,938 0,15
Várható érték: M(ξ)= 2,778 0,94
Kerekítve: 3 Szórás: D(ξ)= 0,9716

Definíció:

A ξ valószínűségi változót hipergeometrikus eloszlásúnak nevezzük, ha ξ lehetséges értékei {0; 1; 2; …n) és eloszlása ​ ​\( P(ξ=k)=\frac{\binom{M}{k}·\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} \)​, ahol p valószínűség 1-nél nem nagyobb nemnegatív valós szám  (p∈ℝ|0≤p≤1) és k lehetséges értékei {0; 1; 2; …n). ( k∈N|0≤k≤n) és n≤M≤N.

A hipergeometriai eloszlás paraméterei: N; n; M.
N: az összes elem száma n: a kiválasztott elemek száma M: az adott tulajdonsággal rendelkező elemek száma.
A fenti golyós példa esetén: N : 18 darab golyó n: 5 darabot választunk M: 10 a kiválasztható pirós golyók száma.

Tétel:

Az „N”; „n” és „M” paraméterű hipergeometriai eloszlású valószínűségi változó várható értéke:

\( M(ξ)=n·\frac{M}{N} \)​.

A fenti golyós példa esetén:  ​\( M(ξ)=5·\frac{10}{18}≈2,778 \)​.

Tétel:

Az „N”; „n” és „M” paraméterű hipergeometriai eloszlású valószínűségi változó szórása: ​\( D(ξ)=\sqrt{n·\frac{M}{N}·\left(1-\frac{M}{N}\right)·\left( \frac{N-n}{N-1} \right) } \)​ .

A fenti golyós példa esetén: ​\( D(ξ)=\sqrt{5·\frac{10}{18}·\left(1-\frac{10}{18}\right)·\left( \frac{18-5}{18-1} \right) }≈0,9716 \)​.

Megjegyzés:

Ha „N” és az „M” sokkal nagyobb(??!), mint az „n”, akkor elhanyagolható a különbség a visszatevéses és a visszatevés nélküli eset között. Ilyenkor számolhatunk a hipergeometriai eloszlás helyett a és „n” paraméterű binomiális eloszlásra vonatkozó összefüggésekkel.

A fenti példa ábrázolása grafikonon:

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.