Binomiális eloszlás

1. Példa:

Egy dobozban 10 darab piros és 8 darab kék golyó van. Csukott szemmel egymás után kihúzunk 5 golyót úgy, hogy minden húzás után visszatesszük a kihúzott golyót és összekeverjük a doboz tartalmát.
Mi a valószínűsége, hogy ötből háromszor piros golyót  húztunk?

Megoldás:

Ez  visszatevéses mintavétel. A kérdésre a válasz:  ​\( \binom{5}{3}·\left(\frac{10}{18} \right)^3·\left(\frac{8}{18} \right) ^2≈0.34 \)​.

Ha ezt a kérdést egy picit általánosabban tesszük fel, azaz:
Mi a valószínűsége, hogy ötből “k”-szor piros golyót  húztunk? (0≤k≤5)

Ez a valószínűség: ​\( \binom{5}{k}·\left(\frac{10}{18} \right)^k·\left(\frac{8}{18} \right)^{5-k} \)​.

2. példa.

A mellékelt ábrán (Galton deszkán) egy golyó gurul lefelé. Minden akadálynál ugyanakkora (0.5) valószínűséggel megy jobbra vagy balra. Ezért minden út egyformán valószínű. A pályán 5 szinten vannak akadályok (elágazási pontok) és a végén 6 rekesz [0;5] valamelyikébe  érkezik meg a golyó.

Mi a valószínűsége annak,  hogy a golyó a k.-dik (0; 1; 2; 3; 4; 5 számú) rekeszbe fog beesni?

Megoldás:

Annak a valószínűsége, hogy a golyó 5 lépés közül k-szor jobbra, (5 – k)-szor balra lép, azaz a k-adik rekeszbe jut:  ​\( \binom{5}{k}·\left(\frac{1}{2}\right)^k·\left(\frac{1}{2} \right)^{5-k} \)​.
Ez is visszatevéses mintavétel.

Mi a közös a két feladatban?
Olyan eseményekről volt szó mindkettőnél, aminek két lehetséges kimenetele van:
Jobbra – balra, piros – nem piros. Ha az egyik esemény valószínűsége: p, akkor a másiké 1 – p.

Az eredény a Galton deszka esetén: \( \binom{5}{k}·\left(\frac{1}{2}\right)^k·\left(\frac{1}{2} \right)^{5-k} =\binom{5}{k}·\left(\frac{1}{2}\right)^5 \)​.

Az eredmény a golyós példa esetén:  ​\( \binom{5}{k}·\left(\frac{10}{18} \right)^k·\left(\frac{8}{18} \right)^{5-k} \)​.

 

Definíció:

A ξ valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak nevezzük, ha ξ lehetséges értékei {0; 1; 2; …n) és eloszlása ​\( P(ξ=k)=\binom{n}{k}·p^{k}·(1-p)^{k} \)​ , ahol p valószínűség 1-nél nem nagyobb nemnegatív valós szám  (p∈ℝ|0≤p≤1) és k lehetséges értékei {0; 1; 2; …n). ( k∈N|0≤k≤n).

A binomiális eloszlás két paramétere: n: ismétlések (“visszatevések”) száma, p: valószínűség.

A binomiális eloszlást Bernoulli eloszlásnak is nevezik az un. Bernoulli-kísérlet nyomán.
A visszatevéses mintavétel esetei a binomiális eloszlásra vezetnek.

Feladat:

(2011. májusi emelt szintű érettségi feladat nyomán)

Egy gyártósoron 8 darab gép dolgozik. A gépek mindegyike, egymástól függetlenül 0,05 valószínűséggel túlmelegszik a reggeli bekapcsoláskor. Ha a munkanap kezdetén 3 vagy több gép túlmelegszik, akkor az egész gyártósor leáll. A 8 gép reggeli beindításakor bekövetkező túlmelegedések számát a binomiális eloszlással modellezzük.  Adja meg az eloszlás két paraméterét! Számítsa ki az eloszlás várható értékét!

Megoldás:

Ekkor: ​\( P(ξ=k)=\binom{8}{k}·0,05^{k}·0,95^{k} \)​ ; ahol k=0; 1; 2;…;8.

Tehát n=8 és p= 0,05.

Készítsünk táblázatot a valószínűségi változó várható értékének és szórásának meghatározásához!

Valószínűségi változó Eloszlás, várható érték és szórás
Esemény xi P(ξ=xi) xi⋅P(ξ=xi) ξ-M(ξ) η=(ξ-M(ξ))2 η⋅P(ξ=xi)
0 gép romlik el 0 0,663420 0,000000 -0,40 0,16 0,1061
1 gép romlik el 1 0,279335 0,279335 0,60 0,36 0,1006
2 gép romlik el 2 0,051456 0,102913 1,60 2,56 0,1317
3 gép romlik el 3 0,005416 0,016249 2,60 6,76 0,0366
4 gép romlik el 4 0,000356 0,001425 3,60 12,96 0,0046
5 gép romlik el 5 0,000015 0,000075 4,60 21,16 0,0003
6 gép romlik el 6 0,000000 0,000002 5,60 31,36 0,0000
7 gép romlik el 7 0,000000 0,000000 6,60 43,56 0,0000
8 gép romlik el 8 0,000000 0,000000 7,60 57,76 0,0000
A  ξ valószínűségi változó várható értéke: M(ξ)= 0,400000 0,3800
A  ξ valószínűségi változó szórása: D(ξ)= 0,6164

 

Vegyük észre: n⋅p=M(ξ).  Ennél a példánál a valószínűségi változó várható értéke: 8⋅0,05=0,4.
Ez az összefüggés általában is igaz.

Tétel:

Ha a ξ „n” és „p” paraméterű valószínűségi változó, akkor várható értéke: M(ξ)=n⋅p.

Azaz a várható érték a két paraméter szorzata.

A következő tétel a szórás kiszámítását teszi egyszerűbbé:

Tétel:

Ha a ξ „n” és „p” paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó, akkor szórása: ​\( D(ξ)=\sqrt{n·p·(1-p)} \)​.

A fenti példa esetén: ​\( D(ξ)=\sqrt{8·0,05·(1-0,05)}=\sqrt{0,38}≈0,6164 \)​.

A fenti eloszlások ábrázolása grafikonon:

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.