A valószínűségi változó szórása

A) Statisztikai átlag és a valószínűségi változó várható értéke.

Egy adott adatsokaság (a₁, a₂;a₃,…,a_n) átlagának kiszámítására a statisztikában alkalmazott képlet:

Átlag: \( \overline{a}=\frac{gy_{1}·a_{1}+gy_{2}·a_{2}+…+gy_{n}·a_{n}}{gy_{1}+gy_{2}+…gy_{n}} \).
Itt az egyes adatok gyakoriságát, előfordulásainak a számát gy_i jelöli.

Amennyiben a gyakoriság (gy_i) helyett a relatív gyakorisággal (rgy_i) számolunk, akkor a képlet így alakul:

\( \overline{a}=rgy_{1}·a_{1}+rgy_{2}·a_{2}+…+rgy_{n}·a_{n} \).

A valószínűségi változó várható értékét a statisztikai adatok átlagához hasonlóan számítjuk ki..

M(ξ)=x₁⋅p₁+x₂⋅p₂+x₃⋅p₃+…+x_n⋅p_n

Itt az x_i a valószínűségi változó értéke, p_i ennek a valószínűsége.

B) Adatsokaság és a valószínűségi változó szórása.

Egy adatsokaság esetén az adatok szórását a statisztikában következő lépésekkel határozhatjuk meg:

1. Képezzük az adatok eltérését az átlagtól. (Ez előjeles érték lehet.)
2. Vesszük az eltérések négyzetét.
3. Ezt megszorozzuk a gyakorisággal.
4. Összegezzük és átlagoltunk.
5. Majd négyzetgyököt vontunk.

Szórás kiszámítása a statisztikában: \( D(\overline{a})=\sqrt{\frac{gy_{1}·(a_{1}-\overline{a})^2+gy_{2}·(a_{2}-\overline{a})^2+…+gy_{n}·(a_{n}-\overline{a})^2}{gy_{1}+gy_{2}+…gy_{n}}} \).

Természetesen számolhattunk volna a gyakoriság helyett relatív gyakorisággal.

Feladat:

Két kockával 100-szor dobtunk. A kapott számpárokhoz (elemi eseményekhez) hozzárendeljük a dobott számok összegét. Az alábbi táblázatban megadtuk az egyes összegek előfordulásának gyakoriságát.
1. Számítsuk ki az egyes összegek előfordulásának átlagát és szórását!
2. Számítsuk ki a valószínűségi változó (a dobott összeg) várható értékét!

Megoldás:

Az átlag és a adatok szórását a statisztikában megszokott módon számoljuk ki.
Az egyes adatokhoz (a_i=ξ=x_ia dobott számok összege) tartozó valószínűségek (p_i) kiszámíthatók, hiszen például P(ξ=2)=1/36≈0.028, hiszen ez csak egyszer fordulhat elő: {1;1} dobás esetén. Hasonlóan P(ξ=3)=2/36≈0.056: a {1;2} és {2;1} dobások esetén. És így tovább, lásd a valószínűségi változó eloszlásánál.

Eredmények:

a_i=ξ=x_i	gy_i	(x_i-\( \overline{x} \))	gy_i⋅(x_i-\( \overline{x} \))²	p_i	p_i⋅x_i
2	4	-5,230	109,412	0,028	0,056
3	5	-4,230	89,465	0,056	0,167
4	8	-3,230	83,463	0,083	0,333
5	10	-2,230	49,729	0,111	0,556
6	13	-1,230	19,668	0,139	0,833
7	16	-0,230	0,846	0,167	1,167
8	11	0,770	6,522	0,139	1,111
9	10	1,770	31,329	0,111	1,000
10	9	2,770	69,056	0,083	0,833
11	8	3,770	113,703	0,056	0,611
12	6	4,770	136,517	0,028	0,333
Átlag: \( \overline{x} \)=	7,23		7,097	Várható érték M(ξ)=	7,000
		Szórás:	2,664

Így megkaptuk a valószínűségi változó várható értékét.

Mivel a relatív gyakoriság a valószínűséghez közelít, az átlag a várható értékhez közelít, ezért a valószínűségi változó szórását a statisztikában alkalmazott eljáráshoz nagyon hasonlóan számoljuk ki:

1. Képezzük az valószínűségi változó értékének és a várható érték különbségét.
2. Ezt emeljük négyzetre.
3. Szorozzuk meg ezt a valószínűségi változóhoz tartozó valószínűséggel.
4. Összegzünk.
5. Majd négyzetgyököt vonunk.

A valószínűségi változó és a várható érték különbsége is valószínűségi változó, hiszen ez is az elemi eseményekhez hozzárendelhető érték. Jelöljük ezt η (éta)-val. M(η) a várható értéke a valószínűségi változó várható értéktől való eltérései négyzetének.

Statisztika				Valószínűség
a_i=ξ=x_i	gy_i	(x-\( \overline{x} \))	gy_i⋅(x_i-\( \overline{x} \))²	p_i	p_i⋅x_i	(x_i-M(ξ))²	η=p_i⋅(x_i-M(ξ))²
2	4	-5,230	109,412	0,028	0,056	25,000	0,69
3	5	-4,230	89,465	0,056	0,167	16,000	0,89
4	8	-3,230	83,463	0,083	0,333	9,000	0,75
5	10	-2,230	49,729	0,111	0,556	4,000	0,44
6	13	-1,230	19,668	0,139	0,833	1,000	0,14
7	16	-0,230	0,846	0,167	1,167	0,000	0,00
8	11	0,770	6,522	0,139	1,111	1,000	0,14
9	10	1,770	31,329	0,111	1,000	4,000	0,44
10	9	2,770	69,056	0,083	0,833	9,000	0,75
11	8	3,770	113,703	0,056	0,611	16,000	0,89
12	6	4,770	136,517	0,028	0,333	25,000	0,69
Átlag: \( \overline{x} \)=	7,23		7,097	Várható érték: M(ξ)=	7,000	M(η)=	5,83
		Adatok szórása:	2,664			Valószínűségi változó szórása: D(ξ)=	2,42

A statisztikai adatok szórásánál az átlaggal és a gyakorisággal (relatív gyakorisággal) számolunk, míg a valószínűségi változó szórásánál a valószínűségi változó várható értékével és a valószínűségekkel dolgozunk.

Definíció:

Ha a ξ valószínűségi változó várható értéke M(ξ), akkor az η=(ξ-M(ξ))² valószínűségi változó várható értékét (amennyiben ez létezik) a ξ valószínűségi változó szórásnégyzetének nevezzük.
A ξ valószínűségi változó szórása: \( D(ξ)=\sqrt{M(η)}=\sqrt{M((ξ-M(ξ))^2)} \).

A valószínűségi változó várható érték körüli ingadozását, „szóródását” méri, jellemzi a szórás.

Most akkor nézzük újra lépésenként, hogyan számoljuk ki egy adott példa esetén a valószínűségi változó szórását:

1. Képezzük az valószínűségi változó és a várható érték különbségét: ξ-M(ξ).
2. Ezt négyzetre emeljük: η=(ξ-M(ξ))².
3. Szorozzuk a valószínűséggel: p_i⋅η=p(ξ=x_i)⋅η.
4. Összegzünk. Az eltérések négyzetének várható értéke:M(η)=M((ξ-M(ξ))²)
5. Majd négyzetgyököt vonunk: \( D(ξ)=\sqrt{M(η)}=\sqrt{M((ξ-M(ξ))^2)} \).

Feladat:

A 32 lapos magyar kártyacsomagból egyszerre kihúzunk 6 lapot. A ξ valószínűségi változó jelöli a kihúzott 6 lapban lévő piros lapok számát. Adjuk meg a valószínűségi változó várható értékét és a szórását!

Megoldás:

Először számoljuk ki az a valószínűségi változókhoz (az egyes eseményekhez) tartozó valószínűségeket!
Az összes esetek száma: \( \binom{32}{6}=906192 \).
A egyes esetekben a kedvező esetek száma és a valószínűség:
0 piros: \( \binom{8}{0}⋅\binom{24}{6} \)= 134596. , Így a valószínűség: p₁=0,14853.
1 piros: \( \binom{8}{1}⋅\binom{24}{5} \)= 340032. , Így a valószínűség: p₂=0,37523.
2 piros: \( \binom{8}{2}⋅\binom{24}{4} \)= 297528. , Így a valószínűség: p₃=0,32853.
3 piros: \( \binom{8}{3}⋅\binom{24}{3} \)= 113344. , Így a valószínűség: p₄=0,12508.
4 piros: \( \binom{8}{4}⋅\binom{24}{2} \)= 19320. , Így a valószínűség: p₅=0,02132.
5 piros: \( \binom{8}{5}⋅\binom{24}{1} \)= 1344. , Így a valószínűség: p₆=0,00148.
6 piros: \( \binom{8}{6}⋅\binom{24}{0} \)= 28. , Így a valószínűség: p₇=0,00003.

A várható érték és a szórás kiszámítását tartalmazza az alábbi táblázat:

ξ=x_i	p_i	p_i⋅x_i	(x_i-M(ξ))²	η=p_i⋅(x_i-M(ξ))²
0	0,14853	0,00000	2,25117	0,33437
1	0,37523	0,37523	0,25039	0,09395
2	0,32853	0,65706	0,24961	0,08200
3	0,12508	0,37524	2,24883	0,28128
4	0,02132	0,08528	6,24805	0,13321
5	0,00148	0,00740	12,24727	0,01813
6	0,00003	0,00018	20,24649	0,00061
			M(η)=	0,94355
Várható érték:	M(ξ)=	1,50039	Szórás: D(ξ)=	0,97137

Megjegyzés:

A várható érték nem szó szerint értendő, hiszen az nem lehet 1,50039, mivel a feladat értelmezése szerint ez csak pozitív egész szám lehet. Ebben az esetben a tényleges várható érték 2 lehet.

Post Views: 3 952