A valószínűségi változó várható értéke

Feladat:

Két kockával 100-szor dobtunk. A kapott számpárokhoz (elemi eseményekhez) hozzárendeljük a dobott számok összegét. Az alábbi táblázat tartalmazza az egyes összegek előfordulásának gyakoriságát. Számítsuk ki a kapott összegek átlagát és szórását!

Megoldás:

Készítsünk táblázatot és a statisztikában megismert módon végezzük el a számításokat!
A táblázatban szereplő adatok:

Adatok: a dobott számok összege [2;12]: x_i. a valószínűségi változó értéke.
Ennek gyakorisága (itt most megadott érték): gy_i.
Az adatok (x_i) átlaga: ​\( \overline{x} \)​

xi	gyi	xi–\( \overline{x} \)​	gyi⋅(xi–\( \overline{x} \)​)2
2	4	-5,230	109,412
3	5	-4,230	89,465
4	8	-3,230	83,463
5	10	-2,230	49,729
6	13	-1,230	19,668
7	16	-0,230	0,846
8	11	0,770	6,522
9	10	1,770	31,329
10	9	2,770	69,056
11	8	3,770	113,703
12	6	4,770	136,517
Statisztikai átlag: (​\( \overline{x} \)​)=	7,23	Variancia:	7,097
		Szórás:	2,664

Az egyes x_i adathoz tartozó valószínűségek kiszámíthatók, hiszen például P(ξ=2)=1/36≈0.028, hiszen ez csak egyszer fordulhat elő: {1;1} dobás esetén. Hasonlóan P(ξ=3)=2/36≈0.056: a {1;2} és {2;1} dobások esetén. És így tovább. Lásd még a valószínűségi változó eloszlásánál.

Egészítsük ki most ezt a táblázatot a valószínűségi értékek oszlopával (p_i), majd az adatot (x_i: a valószínűségi változó értékét, azaz a dobott összeget) szorozzuk a valószínűséggel és a kapott értékeket összegezzük!

Eredmény:

xi	gyi	xi-​\( \overline{x} \)​	gy⋅(xi​\( \overline{x} \)​)2	pi	pi⋅xi
2	4	-5,230	109,412	0,028	0,056
3	5	-4,230	89,465	0,056	0,167
4	8	-3,230	83,463	0,083	0,333
5	10	-2,230	49,729	0,111	0,556
6	13	-1,230	19,668	0,139	0,833
7	16	-0,230	0,846	0,167	1,167
8	11	0,770	6,522	0,139	1,111
9	10	1,770	31,329	0,111	1,000
10	9	2,770	69,056	0,083	0,833
11	8	3,770	113,703	0,056	0,611
12	6	4,770	136,517	0,028	0,333
Statisztikai átlag (​\( \overline{x} \)​)=	7,23		7,097	Valószínűségi változó várható értéke M(ξ):	7,00

A táblázat jobb alsó sarkában kapott M(ξ)=x₁⋅p₁+x₂⋅p₂+x₃⋅p₃+…+x_n⋅p_n összeget nevezzük a valószínűségi változó várható értékének.

A statisztikában alkalmazott átlagnak a valószínűségszámításban a várható érték felel meg.

Hasonlítsuk most össze a táblázat jobb alsó sarkában így kapott összeget  (7,00) és a statisztikai átlagot (7,23)! Minél jobban megközelítik az egyes értékek relatív gyakorisága a valószínűséget, annál jobban megközelíti az átlag a kísérlet során kapható várható értéket.

Definíció:

Legyenek a ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x₁, x₂, x₃,…,x_n  véges sok érték, amelyeket rendre P(ξ=x_i) valószínűségekkel vesz fel.  Ebben az esetben a ξ valószínűségi változó várható értékén a ​\( M(ξ)=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}·P(ξ=x_{i}) } \)​ összeget értjük. Véges eseménytérben a várható érték mindig létezik.

Ha a  ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x₁, x₂, x₃,…,x_i … megszámlálhatóan végtelen sok, akkor a ξ valószínűségi változó várható értékén a  az ​\( M(ξ)=\sum_{i=1}^{∞}{x_{i}·P(ξ=x_{i}) } \)​végtelen sort értjük, ha annak van határértéke.