Valószínűségi változó eloszlása

A valószínűségeloszlás fogalma.

A valószínűségi változóval, mint a kísérlet kimenetelének numerikus jellemzőjével összefüggésben elsősorban az érdekel minket, hogy a lehetséges értékeket milyen valószínűséggel veszi fel.
Egy lövész mesterségbeli tudására nyilván az a jellemző, hogy milyen valószínűséggel ér el 10-es; 9-es stb. találatot.

Ha ξ–vel jelöljük találat értékét jelző valószínűségi változót, amelynek lehetséges értékei x1; x2; x3;…; xn;… és tudjuk, hogy ezeket p1; p2; p3;…;pn valószínűségekkel veszi fel, akkor azt mondjuk, hogy ismerjük a ξ valószínűségi változó eloszlását, amelyet diszkrét valószínűségi változó esetében egy táblázattal is megadhatunk.

Példa:

Dobjunk fel kétszer egy szabályos pénzérmét! Minden fej dobásakor  100 Ft-t nyerünk és minden írás dobáskor 100 Ft-t veszítünk. A ξ valószínűségi változó jelentse a pénznövekedésünket a dobások után.

Ennél a kísérletnél az eseménytér 4 darab elemi eseményből áll. A1={i;i}, A2={i;f}, A3={f;i}, A4={f;f}. Ekkor a ξ valószínűségi változó értékei: ξ(A1)=-200=x1, ξ(A2)=0=x2=ξ(A3), ξ(A4)=200=x3.

Az egyes valószínűségi változókhoz tartozó valószínűségek:
P(ξ=-200=x1)=1/4=0,25. Két írás dobása esetén ennyi a valószínűsége annak, hogy veszítünk.
P(ξ=0=x2)=1/2=0,50. Két olyan elemi esemény is van, ahol se nem nyerünk, se nem veszítünk. Így ennek valószínűsége 0,5.
P(ξ=200=x3)=1/4=0,25. Ennyi a valószínűsége annak, hogy nyerünk 200 Ft.

Ezt tartalmazza az alábbi táblázat:

Elemi esemény

Valószínűségi változó és annak eloszlása

A1={i;i}

ξ(A1)=-200=x1

P(ξ=-200=x1)=1/4=0,25

A2={i;f}

ξ (A2)=0=x2 P(ξ=0=x2)=1/2=0,50

A3={f;i}

ξ (A3)=0=x2

A4={f;f} ξ (A4)=200=x3

P(ξ=200=x3)=1/4=0,25

Ennek a ξ valószínűségi változónak az eloszlását ábrázolhatjuk grafikonon is.

Definíció:

Legyenek egy valószínűségi kísérlethez rendelt ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza {x1; x2;…xn…}. Ekkor a P(ξ=xi) valószínűségek halmazát a ξ valószínűségi változó eloszlásának nevezzük. 

Feladat:

Két kockával dobunk és a kapott számpárokhoz (elemi eseményekhez) hozzárendeljük a dobott számok összegét. Számítsuk ki az egyes összegekhez tartozó valószínűségeket! A kapott eredményeket állítsuk össze egy táblázatban és szemléltessük grafikonon!

Az eseménytér elemeinek a száma: 36.
A valószínűségi változók száma 11, dobott számok összegének lehetséges értékei: [2;12] .

Táblázatban:

Elemi események

Elemi események száma A valószínűségi változó ξ(xi)= a dobott összeg

Valószínűségek P(ξ=xi)

(1;1)

1

ξ=2=x1

1/36=

0,028
(1;2), (2;1)

2

ξ=3=x2

2/36

0,056
(1;3), (2;2), (3;1)

3

ξ=4=x3

3/36=

0,083
(1;4), (2;3), (3;2), (4;1)

4

ξ=5=x4

4/36=

0,111
(1;5), (2;4), (3;3); 4;2), (5;1))

5

ξ=6=x5

5/36=

0,139
(1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)

6

ξ=7=x6

6/36=

0,167
(2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2),

5

ξ=8=x7

5/36=

0,139
(3;6), (4;5), (5;4), (6;3)

4

ξ=9=x8

4/36=

0,111
(4;6); (5;5), (6;4)

3

ξ=10=x9

3/36=

0,083
(5;6), (6;5)

2

ξ=11=x10

2=116

0,056
(6;6)

1

ξ=12=x11

1/36=

0,028
Összesen: 36 Összesen: 1

A valószínűségi változókhoz rendelt valószínűségek összege: ​\( \sum_{i=1}^{11}{P(ξ=x_{i})=1 } \) ​.

Grafikonon (Valószínűségdiagram):

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.