A valószínűségi változó várható értéke

Feladat:

Két kockával 100-szor dobtunk. A kapott számpárokhoz (elemi eseményekhez) hozzárendeljük a dobott számok összegét. Az alábbi táblázat tartalmazza az egyes összegek előfordulásának gyakoriságát. Számítsuk ki a kapott összegek átlagát és szórását!

Megoldás:

Készítsünk táblázatot és a statisztikában megismert módon végezzük el a számításokat!
A táblázatban szereplő adatok:

Adatok: a dobott számok összege [2;12]: xi. a valószínűségi változó értéke.
Ennek gyakorisága (itt most megadott érték): gyi.
Az adatok (xi) átlaga: ​\( \overline{x} \)

xi gyi xi\( \overline{x} \) gyi⋅(xi\( \overline{x} \)​)2
2 4 -5,230 109,412
3 5 -4,230 89,465
4 8 -3,230 83,463
5 10 -2,230 49,729
6 13 -1,230 19,668
7 16 -0,230 0,846
8 11 0,770 6,522
9 10 1,770 31,329
10 9 2,770 69,056
11 8 3,770 113,703
12 6 4,770 136,517
Statisztikai átlag: (​\( \overline{x} \)​)= 7,23 Variancia: 7,097
  Szórás: 2,664

Az egyes xadathoz tartozó valószínűségek kiszámíthatók, hiszen például P(ξ=2)=1/36≈0.028, hiszen ez csak egyszer fordulhat elő: {1;1} dobás esetén. Hasonlóan P(ξ=3)=2/36≈0.056: a {1;2} és {2;1} dobások esetén. És így tovább. Lásd még a valószínűségi változó eloszlásánál.

Egészítsük ki most ezt a táblázatot a valószínűségi értékek oszlopával (pi), majd az adatot (xi: a valószínűségi változó értékét, azaz a dobott összeget) szorozzuk a valószínűséggel és a kapott értékeket összegezzük!

Eredmény:

xi gyi xi-​\( \overline{x} \)    gy⋅(xi\( \overline{x} \)​)2 pi pi⋅xi
2 4 -5,230 109,412 0,028 0,056
3 5 -4,230 89,465 0,056 0,167
4 8 -3,230 83,463 0,083 0,333
5 10 -2,230 49,729 0,111 0,556
6 13 -1,230 19,668 0,139 0,833
7 16 -0,230 0,846 0,167 1,167
8 11 0,770 6,522 0,139 1,111
9 10 1,770 31,329 0,111 1,000
10 9 2,770 69,056 0,083 0,833
11 8 3,770 113,703 0,056 0,611
12 6 4,770 136,517 0,028 0,333
Statisztikai átlag (​\( \overline{x} \)​)= 7,23 7,097 Valószínűségi változó várható értéke M(ξ): 7,00

A táblázat jobb alsó sarkában kapott M(ξ)=x1⋅p1+x2⋅p2+x3⋅p3+…+xn⋅pn összeget nevezzük a valószínűségi változó várható értékének.

A statisztikában alkalmazott átlagnak a valószínűségszámításban a várható érték felel meg.

Hasonlítsuk most össze a táblázat jobb alsó sarkában így kapott összeget  (7,00) és a statisztikai átlagot (7,23)! Minél jobban megközelítik az egyes értékek relatív gyakorisága a valószínűséget, annál jobban megközelíti az átlag a kísérlet során kapható várható értéket.

Definíció:

Legyenek a ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x1, x2, x3,…,xn  véges sok érték, amelyeket rendre P(ξ=xi) valószínűségekkel vesz fel.  Ebben az esetben a ξ valószínűségi változó várható értékén a ​\( M(ξ)=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}·P(ξ=x_{i}) } \)​ összeget értjük. Véges eseménytérben a várható érték mindig létezik.

Ha a  ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x1, x2, x3,…,xi … megszámlálhatóan végtelen sok, akkor a ξ valószínűségi változó várható értékén a  az ​\( M(ξ)=\sum_{i=1}^{∞}{x_{i}·P(ξ=x_{i}) } \)​végtelen sort értjük, ha annak van határértéke.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.