A valószínűségi változó szórása

A) Statisztikai átlag és a valószínűségi változó várható értéke.

Egy adott adatsokaság (a1, a2;a3,…,an) átlagának kiszámítására a statisztikában alkalmazott képlet:

Átlag: ​\( \overline{a}=\frac{gy_{1}·a_{1}+gy_{2}·a_{2}+…+gy_{n}·a_{n}}{gy_{1}+gy_{2}+…gy_{n}} \)​.
Itt az egyes adatok gyakoriságát, előfordulásainak a számát gyi jelöli.

Amennyiben a gyakoriság (gyi) helyett a relatív gyakorisággal (rgyi) számolunk, akkor a képlet így alakul:

\( \overline{a}=rgy_{1}·a_{1}+rgy_{2}·a_{2}+…+rgy_{n}·a_{n} \)​.

A valószínűségi változó várható értékét a statisztikai adatok átlagához hasonlóan számítjuk ki..

M(ξ)=x1⋅p1+x2⋅p2+x3⋅p3+…+xn⋅pn

Itt az xi a valószínűségi változó értéke, pi ennek a valószínűsége.

B) Adatsokaság és a valószínűségi változó szórása.

Egy adatsokaság esetén az adatok szórását  a statisztikában következő lépésekkel határozhatjuk meg:

1. Képezzük az adatok eltérését az átlagtól. (Ez előjeles érték lehet.)
2. Vesszük az eltérések négyzetét.
3. Ezt megszorozzuk a gyakorisággal.
4. Összegezzük és átlagoltunk.
5. Majd négyzetgyököt vontunk.

Szórás kiszámítása a statisztikában: ​\( D(\overline{a})=\sqrt{\frac{gy_{1}·(a_{1}-\overline{a})^2+gy_{2}·(a_{2}-\overline{a})^2+…+gy_{n}·(a_{n}-\overline{a})^2}{gy_{1}+gy_{2}+…gy_{n}}} \)​.

Természetesen számolhattunk volna a gyakoriság helyett relatív gyakorisággal.

Feladat:

Két kockával 100-szor dobtunk. A kapott számpárokhoz (elemi eseményekhez) hozzárendeljük a dobott számok összegét. Az alábbi táblázatban megadtuk az egyes összegek előfordulásának gyakoriságát.
1. Számítsuk ki az egyes összegek előfordulásának átlagát és szórását!
2. Számítsuk ki a valószínűségi változó (a dobott összeg) várható értékét!

 

Megoldás:

Az átlag és a adatok szórását a statisztikában megszokott módon számoljuk ki.
Az egyes adatokhoz (ai=ξ=xa dobott számok összege)  tartozó valószínűségek (pi) kiszámíthatók, hiszen például P(ξ=2)=1/36≈0.028, hiszen ez csak egyszer fordulhat elő: {1;1} dobás esetén. Hasonlóan P(ξ=3)=2/36≈0.056: a {1;2} és {2;1} dobások esetén. És így tovább, lásd a valószínűségi változó eloszlásánál.

Eredmények:

ai=ξ=xi gyi (xi-​\( \overline{x} \)​)    gyi⋅(xi-​\( \overline{x} \)​)2 pi pi⋅xi
2 4 -5,230 109,412 0,028 0,056
3 5 -4,230 89,465 0,056 0,167
4 8 -3,230 83,463 0,083 0,333
5 10 -2,230 49,729 0,111 0,556
6 13 -1,230 19,668 0,139 0,833
7 16 -0,230 0,846 0,167 1,167
8 11 0,770 6,522 0,139 1,111
9 10 1,770 31,329 0,111 1,000
10 9 2,770 69,056 0,083 0,833
11 8 3,770 113,703 0,056 0,611
12 6 4,770 136,517 0,028 0,333
Átlag: \( \overline{x} \)= 7,23 7,097 Várható érték M(ξ)= 7,000
Szórás: 2,664

Így megkaptuk a valószínűségi változó várható értékét.

Mivel a relatív gyakoriság a valószínűséghez közelít, az átlag a várható értékhez közelít, ezért a valószínűségi változó szórását a statisztikában alkalmazott eljáráshoz nagyon hasonlóan számoljuk ki:

1. Képezzük az valószínűségi változó értékének és a várható érték különbségét.
2. Ezt emeljük négyzetre.
3. Szorozzuk meg ezt a valószínűségi változóhoz tartozó valószínűséggel.
4. Összegzünk.
5. Majd négyzetgyököt vonunk.

A valószínűségi változó és a várható érték különbsége is valószínűségi változó, hiszen ez is az elemi eseményekhez hozzárendelhető érték. Jelöljük ezt η (éta)-val. M(η) a várható értéke a valószínűségi változó várható értéktől való eltérései négyzetének.

Statisztika Valószínűség
ai=ξ=xi gyi (x-​\( \overline{x} \)​)    gyi⋅(xi-​\( \overline{x} \)​)2 pi pi⋅xi (xi-M(ξ))2 η=pi⋅(xi-M(ξ))2
2 4 -5,230 109,412 0,028 0,056 25,000 0,69
3 5 -4,230 89,465 0,056 0,167 16,000 0,89
4 8 -3,230 83,463 0,083 0,333 9,000 0,75
5 10 -2,230 49,729 0,111 0,556 4,000 0,44
6 13 -1,230 19,668 0,139 0,833 1,000 0,14
7 16 -0,230 0,846 0,167 1,167 0,000 0,00
8 11 0,770 6,522 0,139 1,111 1,000 0,14
9 10 1,770 31,329 0,111 1,000 4,000 0,44
10 9 2,770 69,056 0,083 0,833 9,000 0,75
11 8 3,770 113,703 0,056 0,611 16,000 0,89
12 6 4,770 136,517 0,028 0,333 25,000 0,69
Átlag: \( \overline{x} \)= 7,23 7,097 Várható érték: M(ξ)= 7,000 M(η)= 5,83
Adatok szórása: 2,664 Valószínűségi változó szórása: D(ξ)= 2,42

A statisztikai adatok szórásánál az átlaggal és a gyakorisággal (relatív gyakorisággal) számolunk, míg a valószínűségi változó szórásánál a valószínűségi változó várható értékével és a valószínűségekkel dolgozunk.

Definíció:

Ha a ξ valószínűségi változó várható értéke M(ξ), akkor az η=(ξ-M(ξ))2 valószínűségi változó várható értékét (amennyiben ez létezik) a ξ valószínűségi változó szórásnégyzetének nevezzük.
A ξ valószínűségi változó szórása: \( D(ξ)=\sqrt{M(η)}=\sqrt{M((ξ-M(ξ))^2)} \)​.

A valószínűségi változó várható érték körüli ingadozását, „szóródását” méri, jellemzi a szórás.

Most akkor nézzük újra lépésenként, hogyan számoljuk ki egy adott példa esetén a valószínűségi változó szórását:

1. Képezzük az valószínűségi változó és a várható érték különbségét: ξ-M(ξ).
2. Ezt négyzetre emeljük: η=(ξ-M(ξ))2.
3. Szorozzuk a valószínűséggel: pi⋅η=p(ξ=xi)⋅η.
4. Összegzünk. Az eltérések négyzetének várható értéke:M(η)=M((ξ-M(ξ))2)
5. Majd négyzetgyököt vonunk: ​\( D(ξ)=\sqrt{M(η)}=\sqrt{M((ξ-M(ξ))^2)} \)​.

Feladat:

A 32 lapos magyar kártyacsomagból egyszerre kihúzunk 6 lapot. A ξ valószínűségi változó jelöli a kihúzott 6 lapban lévő piros lapok számát. Adjuk meg a valószínűségi változó várható értékét és a szórását!

Megoldás:

Először számoljuk ki az a valószínűségi változókhoz (az egyes eseményekhez) tartozó valószínűségeket!
Az összes esetek száma: ​\( \binom{32}{6}=906192 \)​.
A egyes esetekben a kedvező esetek száma és a valószínűség:
0 piros: ​\( \binom{8}{0}⋅\binom{24}{6} \)= 134596. ​, Így a valószínűség: p1=0,14853.
1 piros: ​\( \binom{8}{1}⋅\binom{24}{5} \)= 340032. ​, Így a valószínűség: p2=0,37523.
2 piros: ​\( \binom{8}{2}⋅\binom{24}{4} \)= 297528. ​, Így a valószínűség: p3=0,32853.
3 piros: ​\( \binom{8}{3}⋅\binom{24}{3} \)= 113344. ​, Így a valószínűség: p4=0,12508.
4 piros: ​\( \binom{8}{4}⋅\binom{24}{2} \)= 19320. ​, Így a valószínűség: p5=0,02132.
5 piros: ​\( \binom{8}{5}⋅\binom{24}{1} \)= 1344. ​, Így a valószínűség: p6=0,00148.
6 piros: ​\( \binom{8}{6}⋅\binom{24}{0} \)= 28. ​, Így a valószínűség: p7=0,00003.

A várható érték és a szórás kiszámítását tartalmazza az alábbi táblázat:

ξ=xi pi pi⋅xi (xi-M(ξ))2 η=pi⋅(xi-M(ξ))2
0 0,14853 0,00000 2,25117 0,33437
1 0,37523 0,37523 0,25039 0,09395
2 0,32853 0,65706 0,24961 0,08200
3 0,12508 0,37524 2,24883 0,28128
4 0,02132 0,08528 6,24805 0,13321
5 0,00148 0,00740 12,24727 0,01813
6 0,00003 0,00018 20,24649 0,00061
 M(η)= 0,94355
Várható érték: M(ξ)= 1,50039 Szórás: D(ξ)= 0,97137

Megjegyzés:

A várható érték nem szó szerint értendő, hiszen az nem lehet 1,50039, mivel a feladat értelmezése szerint ez csak pozitív egész szám lehet. Ebben az esetben a tényleges várható érték 2 lehet.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.