Valószínűségi változó fogalma

1. Kísérlet: Két kockával dobunk. Az elemi eseményekhez rendeljük hozzá a dobott számok összegét!
Ebben a kísérletben az eseménytér 6⋅6=36 elemű. A hozzárendelt értékek a lehetséges összegek: [2; 12] intervallumba eső egész számok. Minden elemi eseményhez egyértelműen tartozik egy valós szám, a dobott számok összege.

2. Kísérlet: Céltáblára lövünk. Az elemi eseményekhez rendeljük hozzá a lövés pontértékét!
Elemi események: Az egyes pontok, ahová a lövés becsapódott. Elemi események száma végtelen.
A hozzárendelt értékek a céltáblán feltüntetett lehetséges találati értékek. Például ennél a céltáblánál intervallumba eső egész számok.

3. Kísérlet: Pénzdobás. Egy pénzdarabot sokszor („n”-szer”) feldobunk. A hozzárendelt értékek:  Az adott típusú dobás eredményének sorszáma. Hányadszor dobtuk ezt fejet vagy írást. A lehetséges értékek: 1-től „végtelenig”.

4. Kísérlet: Minden évben egy adott hónap egy adott napján feljegyezzük a Duna vízállását. A hozzárendelt érték a víz magassága.

Definíció:

Egy kísérlethez tartozó H eseménytéren értelmezünk egy valós értékű ξ (kszi) függvényt, úgy, hogy minden “A“⊆ H eseményhez hozzárendelünk egy  ξ(A) valós számot. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük.

Rövidebben:

Valószínűségi változónak nevezzük a H teljes eseményteret a valós számok halmazába leképező függvényeket.

A kísérletek során bekövetkező más-más elemi eseményekhez más-más számértéket rendelünk, de egy elemi eseményhez mindig ugyanazt. A valószínűségi változó tehát valamilyen kísérlet eredményét számszerűleg kifejező mennyiség. Értéke attól függ, hogy melyik elemi esemény következett be.

Jelölés:

A függvényt (a valószínűségi változót) a görög abc betűivel: ξ (kszi); η(éta); ζ(zéta) stb. szokás jelölni.

Ha az első kísérletnél a dobás eredménye (5;3), azaz “A”={5;3}, akkor ξ(A)=5, vagy másképp is írhatóan: ξ(5;3)=8. Ennek valószínűsége: P( ξ(A))=5/36.

Fontos: Nem túl szerencsés az elnevezés. A valószínűségi változó a nevével ellentétben nem változó, hanem függvény.

Definíció:

Ha a ξ valószínűségi változó értékkészlete véges vagy megszámlálhatóan végtelen számú értéket (x1; x2; ..xn; …) vesz fel, akkor a ξ-t diszkrét eloszlású valószínűségi változónak vagy rövidebben diszkrét valószínűségi változónak nevezzük.

Definíció:

Az olyan valószínűségi változókat, amelyek értékei a számegyenes egy intervallumának bármely pontjába eshetnek, folytonos valószínűségi változónak nevezzük.

Folytonos valószínűségi változó általában a mérési eredmények, egy alkatrész élettartama, stb.

Az 1. kísérletnél az elemi események száma 36, a valószínűségi változó értékei [2;12] intervallumba eső egész számok.

A 2. kísérletben az elemi események száma végtelen, a valószínűségi változó értékei azonban [6;10] intervallumba eső egész számok.

A 3. kísérletben az elemi események száma (n: hányadik dobás) elméletben megszámlálhatóan végtelen, a valószínűségi változó értékei is ennek megfelelően megszámlálhatóan végtelen számú pozitív egész számok. (A dobáshoz rendelt sorszám értéke).

A 4. kísérletnél az éppen mért vízállás értéke egy adott (lehetséges vízmagasság) intervallum bármely pontjába eshet.

Tehát diszkrét valószínűségi változó az 1., 2. és a 3. kísérletnél definiált, míg folytonos valószínűségi változóról beszélünk a 4. kísérlet esetében.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.