Halmazok számossága

Halmazok elemszámát tekintve alapvetően két eset van:

1. Véges elemszámú halmazok számosságán elemeinek számát értjük.
2. Végtelen elemszámú halmazok.

Végtelen elemszámú halmazok

A halmazelmélet megalapozója és megteremtője az 1870-es években a német Cantor volt. Ő a halmazokat úgy vizsgálta, hogy azokat függetlenítette elemeinek sajátosságaitól.

Cantor gondolatai a végtelen valóságos létezésének meggyőződéséből fakadtak. Úgy gondolta, hogy végtelen elemszámú halmazok között is értelmezhetők az ugyanakkora, kisebb, nagyobb fogalmak. A végtelen halmazok számosságának a vizsgálatához egy teljesen új szemléletet adott.

A végtelen halmazokkal kapcsolatban elsőként azt a gondolatot vetette fel, hogy két halmaz egyenlő számosságú, ha elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető (elemei párba állíthatók).

Tekintsük alapként a +={Pozitív egészek számok} halmazát. Azt természetesnek tekintjük, hogy a ={Negatív egész számok} halmaza ugyanakkora számosságú. Hiszen minden +-beli elemhez hozzárendelhető egy -beli elem, az ő ellentettje.

Az azonban már igen elgondolkoztató, hogy a P={Pozitív páros számok} halmaza is ugyanakkora számosságú, mint a pozitív egész számoké. Hiszen minden +-beli elemhez hozzárendelhető az ő kétszerese. Azaz:

+={pozitív egész számok} 1 2 3 4 5 6 7 n
P={páros számok} 2 4 6 8 10 12 14 2n

Párba állíthatók a természetes számok és a pozitív egész számok halmaza is.

ℕ={természetes számok} 0 1 2 3 4 5 6 n
+={pozitív egész számok} 1 2 3 4 5 6 7 n+1

Ugyanígy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető a pozitív egész számok (+) és a prímszámok (törzsszámok) (T) között:

+={pozitív egész számok} 1 2 3 4 5 6 7 n
T={Prímszámok} 2 3 5 7 11 13 17 n-edik prímszám

A fenti halmazok tehát ugyanakkora számosságúak, hiszen mint láttuk, párba állíthatóak, pedig a + halmaz tartalmazza T halmaz minden elemét és a + valódi részhalmaza a ℤ halmaznak. T⊂ℤ+⊂ℕ⊂ℤ. A végtelen világa különös világ.

Cantor a pozitív egész számok halmazát és minden evvel azonos számosságú halmazt megszámlálhatóan végtelen számosságú halmaznak nevezett.

Definíció:

Ha valamely „H” halmaz elemei és a természetes számok között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesíthetünk, akkor a „H” halmazt megszámlálhatóan végtelen számosságú halmaznak nevezzük.

Tehát a fenti példákban szereplő számhalmazok (+; ;ℕ; P; T) számosságát tekintve egyenlők: megszámlálhatóan végtelen számosságúak.
Egy megszámlálhatóan végtelen halmaz minden végtelen részhalmaza is megszámlálható.

A fenti példáknál is különösebb, hogy a ℚ={Racionális számok} halmaza is “csak” megszámlálhatóan végtelen, azaz minden racionális számhoz hozzárendelhető egy pozitív egész szám, és minden pozitív egész számhoz csak egy racionális számot rendelünk.

Pedig a fenti halmazoknál még beszélhetünk szomszédos elemekről, ezt azonban a Q halmaz esetében nem mondhatjuk. Könnyen belátható, hogy bármelyik két racionális szám, bármelyik két törtszám közé végtelen sok törtszám illeszthető. (A racionális számok halmaza sűrű.)

Belátható, hogy elegendő csak a pozitív racionális számok, a ℚ+ halmaz számosságát vizsgálni.

Minden pozitív racionális szám ​\( \frac{m}{n} \)​ alakú, ahol m, n∈ +. Helyezzük el a pozitív racionális számokat egy táblázatba: A táblázat első sorában az 1 nevezőjű egész számok, a második sorban a n=2 nevezőjű racionális számokat írjuk És így tovább. Ebben a táblázatban minden pozitív racionális szám szerepel, igaz, többször (végtelen sokszor) is.

Most ugyanezt a táblázatot rendeljük hozzá a pozitív egész számokhoz az alábbi módon:
Azaz átlósan járjuk be az első táblázatot, és közben számlálunk.

A + és a ℚ+ halmazok elemei párba állíthatók, tehát minden pozitív egész számhoz tartozik egy racionális szám.

Z+:(lépésszám) 1 2 3 4 5 6 7 8
Q+:={pozitív racionális számok} 1 \( \frac{2}{1} \) \( \frac{1}{2} \) \( \frac{1}{3} \) \( \frac{2}{2} \) \( \frac{3}{1} \) \( \frac{4}{1} \) \( \frac{3}{2} \)

Megjegyzés: Ha a fenti táblázatban minden racionális számot csak egyszer írunk be (például úgy, hogy az  ​\( \frac{m}{n} \)​ tört alakban az m és n egymáshoz képest relatív prímek legyenek.), akkor is megszámlálható halmazt kapunk.

Megszámlálhatóan végtelen halmazok tehát például:

Természetes számok
Pozitív egész számok
Egész számok
Prímszámok
Pozitív, páros egész számok
Pozitív, páratlan egész számok
Racionális számok 

Vannak azonban nem megszámlálhatóan végtelen halmazok is, azaz amelyeknek elemei és a természetes számok között nem létesíthető egyértelmű hozzárendelés.

Ilyen például a valós számok () halmaza.

Ennek a halmaznak a számosságát kontinuumnyi számosságúnak mondjuk. (Elnevezés: continuus: szakadatlan; folytonos.)

Kontinuumnyi számosságú a valós számhalmazok bármely intervalluma is, így a [0;1 ] intervallumban lévő valós számok száma halmaza is nem megszámlálhatóan végtelen számosságú halmaz.

https://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%A1moss%C3%A1g
http://www.math.u-szeged.hu/~hajnal/courses/Univ_Halmazelmelet/halmaz99/continu.htm

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.