Racionális számok

Definíció:

Azok a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük.

A racionális számok halmazának jele: ℚ.

Formulával: „c” ∈ ℚ, ha c=a/b, ahol „a”, „b” ∈ (elme) ℤ (egész számok halmaza), és b ≠ 0.

Például: ​\( \frac{2}{3} \)​, ​\( \frac{1}{2} \)​, 5, mert 5=​\( \frac{20}{4}=\frac{5}{1} \).
​ A nulla is racionális szám, hiszen  0=​\( \frac{0}{d} \), ahol d bármilyen 0-tól különböző egész szám.

Racionális számok legfontosabb tulajdonságai:

1. Végtelen: nincs legnagyobb és nincs legkisebb racionális szám. A racionális számok halmazának számossága megegyezik a természetes számok halmazának számosságával, azaz a racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen. (|ℚ|=|ℕ|=ℵ₀)

2. Rendezhető, azaz nagyság szerint sorba rakható.

3. Zárt a négy alapműveletre nézve, azaz a négy alapművelet véges számú alkalmazásával ismét csak racionális számot kapunk.

4. Sűrű, azaz bármely két racionális szám közé bármennyi racionális szám írható.
Például írjunk 9 darab racionális számot a ​\( \frac{7}{9} \) és ​\( \frac{8}{9} \) törtek közé!
Bővítsük a törteket: ​\( \frac{7}{9}=\frac{70}{90} \)​, és ​\( \frac{8}{9}=\frac{80}{90} \).
Így ​\( \frac{7}{9}<\frac{71}{90}<\frac{72}{90}<\frac{72}{90}<\frac{73}{90}<…<\frac{79}{90}<\frac{8}{9} \)​

A racionális számok tizedes tört alakba is írhatók.

Tizedes tört alakjuk lehet:

1. Véges. Például: ¾=0.75, ½=0.5. A véges tizedes törteket olyan közönséges törtekből kapunk, amelyek nevezőjében nem szerepel más prímtényező, mint a 2 és/vagy az 5.

2. Végtelen, de szakaszos (periodikus) tizedes tört.

Ez lehet tiszta periodikus.
Például: 1/3=0,333333…., 2/7=285714285714……..
(Ilyen tizedes törteket olyan közönséges törtekből kapunk, amelyek nevezőjében nem szerepel prímtényezőként sem a 2, sem és az 5.)

Vagy vegyes periodikus.
Például: 2503/9990=0,2505505…., vagy 2/18=0,27777….

A szakaszt alkotó számjegyek száma (a szakasz hossza) kisebb, mint a tört nevezője.
A periodikus tizedes törteket úgy jelöljük, hogy az ismétlődő szakasz első és utolsó számjegye fölé pontot írunk.

Például: ​\( \frac{1}{3}=0,\dot{3} \),vagy ​\( \frac{2}{7}=0,\dot{2}8571\dot{4}2… \)​

Fordítva is igaz, azaz minden periodikus tizedes tört felírható két egész szám hányadosaként, azaz racionális szám. Ezt csak példán mutatjuk meg:

​\( 0,\dot{5}0\dot{5}=\frac{505}{999} \)​vagy ​\( 0,2\dot{5}0\dot{5}=\frac{2}{10}+\frac{505}{9990}=\frac{1998+505}{9990}=\frac{2503}{9990} \)​

A racionális számokat számegyenesen is ábrázolhatjuk.

Minden racionális számhoz tartozik a számegyenes egy pontja.

Megfordítva azonban nem igaz. Vannak a számegyenesen olyan pontok, amelyekhez nem racionális szám tartozik. Bizonyos értelemben sokkal „több” ilyen pontja van a számegyenesnek. Ezekhez a pontokhoz az irracionális számok rendelhetők.

A közönséges törtek tizedes törtté való alakítását a középkorban az olasz Cavalieri tanulmányozta először. Később Gauss volt az, aki tisztázta, hogy mikor kapunk tiszta vagy vegyes szakaszos tizedes törtet, és mekkora lehet a szakasz hosszúsága.