A kör egyenlete

Definíció:

A körvonal azoknak a pontoknak a halmaza (mértani helye) a síkban, amelyek a sík egy adott pontjától (a kör középpontjától) adott távolságban vannak.
Ez a távolság a kör sugara.

Adott a koordináta rendszerben a C(u;v) középpontú, és r sugarú kör. A körvonal bármely P(x;y) pontja C(u;v) középponttól adott r távolságra van.
A C és P pontok távolságára felírva a két pont távolságára vonatkozó összefüggést: ​\( r=\sqrt{(x-u)^2+(y-v)^2} \)​.

Ezt négyzetre emelve: (x-u)²+(y-v)²=r².
Ez az egyenlet a C(u;v) középpontú r sugarú kör egyenlete.

Ezt az egyenletet a C(u;v) középpontú, r sugarú körvonal minden pontjának koordinátái kielégítik és más pont koordinátái pedig nem.

Egy körön kívüli Q(x_q;y_q) pont esetén
(x_q-u)²+(y_q-v)²>r².

Egy körön belüli R(x_r;y_r) pont esetén:
(x_r-u)²+(y_r-v)²<r².

Abban a speciális esetben, amikor a kör középpontja az origó, tehát C(0;0), akkor az egyenlet a következő alakban írható: x²+y²=r².

Bontsuk fel a kör középponti egyenletében a zárójeleket! (x-u)²+(y-v)²=r².
Ekkor fokszám szerint rendezés után: x²+y²-2⋅u⋅x-2⋅v⋅y+u²+v²-r²=0.
Legyen A=-2⋅u; B=-2⋅v és C=u² + v² – r².

Ekkor a kör általános alakját kapjuk:  x² + y² + A⋅x+B⋅y+C=0.

Tétel:

Egy két ismeretlenes másodfokú egyenlet akkor és csak akkor kör egyenlete, ha x²+  y² + A⋅x+B⋅y+C=0 alakra hozható.

Vagyis:

1. Ha nem szerepel benne x⋅y vegyes szorzat.
2. Ha a másodfokú tagok együtthatói egyenlők. (Ha ezek értéke 1-től eltérő, akkor ezzel egyszerűsítjük az egyenletet.)
3. Ha az A² + B² ≥ 4C . (Ez a feltétel biztosítja, hogy a kör sugarának négyzetére nem kapunk negatív értéket.

A fentiekből következik, hogy az általános egyenlet teljes négyzetté alakítással átalakítható a kör középponti egyenletévé.
Ahol a kör „C”  középpontja: ​\( C\left( -\frac{A}{2};-\frac{B}{2} \right) \)​ és ​\( r^{2}=\frac{A^{2}+B^{2}-4·C}{4} \)​.

Feladat: (Összefoglaló feladatgyűjtemény 3356. feladat.)

Határozza meg az x²+y²+6x+4y-3=0 egyenletű körben a (-2;1) pontra illeszkedő legrövidebb húr hosszát.

Megoldás

Először is vizsgáljuk meg, hogyan helyezkedik el a pont a körhöz viszonyítva, hiszen csak akkor lehet megoldás, ha a pont a kör belső pontja.
Erről számolás útján is könnyű meggyőződni. Helyettesítsük be a pont koordinátáit a kör egyenletébe (x=-2 és y=1). Az eredmény: -6. Mivel ez negatív érték, ezért ez a (-2,1) pont a kör belső pontja, így a feladat megoldható.

Geometriai meggondolás: Legrövidebb húrt akkor kapjuk, ha a pontra illeszkedő húr merőleges a pontot a középponttal összekötő sugárra illetve annak egyenesére.

Szükségünk van a középpont koordinátáira. Teljes négyzetté alakítással alakítsuk át a kör megadott egyenletét a kör középponti egyenletévé.  Így kapjuk: (x+3)² + (y+2)²=16. A kör középpontja tehát C(-3;-2) és a kör sugara r=4. Ennek alapján elkészíthetjük a feladat rajzát is.

 Első megoldás

1. Számítsuk ki a megadott pont és a kör középpontjának a távolságát! (CP=t≈3,16)
2. Mivel a sugár (r), a kör és pont távolsága (t) és a keresett húr fele (f) egy derékszögű háromszöget határoz meg, ezért felírható a Pitagorasz tétel: r²=t²+f². Azaz f²≈16-3.16². Így a húr fele f≈2.45.
3. A keresett érték h=2⋅f, azaz h≈4.9.

Második megoldás

1. Első lépésként írjuk fel a megadott ponton (P(-2,1)) és a kör (C(-3,-2)) középpontján áthaladó átmérő egyenes egyenletét. (-3x+y=7).
2. Ezt követően állítsunk erre merőlegest a megadott P pontban. (x+3y=1)
3. Ez a merőleges két pontban metszi a kört. A metszéspontok meghatározásához meg kell oldani a kör és a merőleges egyenes (a húr egyenesének) egyenletrendszerét: x²+y²+6x+4y-3=0  és x+3y=1. Amely egy másodfokú egyenletre vezet.
   Ennek megoldása: ​\( y_{1,2}=\frac{10±\sqrt{60}}{10}≈\frac{10±7.75}{10} \)​.
   Metszéspontok tehát: A(-4.32;1.77) és B(0.32; 1.23)
4. A húr hossza a két pont távolsága: h≈4.9.