Parabola érintői

Definíció:

A parabola azoknak a pontoknak az összessége (mértani helye) a síkban, amelyek a sík egy adott egyenesétől (vezéregyenes) és a sík egy adott (a vezéregyenesre nem illeszkedő) pontjától (fókusz) egyenlő távolságra vannak.

A parabolát azonban a körhöz hasonlóan kúpszeletként is definiálhatjuk.

Parabolát kapunk, ha egy forgáskúpot olyan síkkal metsszünk, amely nem megy át a kúp csúcspontján, és a metsző sík egy alkotóval párhuzamos.

Parabola érintői.

A kör érintőjének definíciója szerint „egy kör érintője olyan egyenes a síkon, amelynek egy adott körrel egy és csak egy közös pontja van.”

Könnyen belátható, hogy ez a definíció a parabola esetén nem elégséges.

A parabola szimmetriatengelyével párhuzamos egyenesnek csak egy közös pontja van a parabolával, de ez az egyenes a P pontban átszeli a görbét.

Ezért a parabola érintőjének a definícióját a kör fenti definíciójához képest ki kell egészíteni a következő módon:

Definíció:

Egy parabola érintője olyan egyenes a síkon, amelynek egy adott parabolával egy és csak egy közös pontja van és minden más pontja külső pont.

Megjegyzés: Ez a definíció alkalmas a kör és minden más kúpszelet (ellipszis; parabola; hiperbola) esetében is.

A parabola adott pontjába húzott érintő felezi a pontot a fókusszal összekötő szakasz és a pontból a vezéregyenesre bocsájtott merőleges által meghatározott szöget.

Egy adott parabolához egy adott külső pontból két érintő húzható.

Parabolához külső pontból húzott érintők szerkesztése

Vegyünk fel egy parabolát és húzzuk meg a vezéregyenessel párhozamos, a parabola tengelypontján áthaladó egyenest az un. főegyenest. Vegyünk fel a parabola tartományon kívül egy tetszőleges P pontot.
Kössük össze a P pontot a parabola fókuszpontjával. Ezzel a szakasszal, mint átmérővel húzzunk egy kört (k). Ez a kör két pontban (M1, M2) metszi a parabola főegyenesét.
A PM1 és PM2 egyenesek a parabola a P pontból húzott érintőinek egyenesei. Az érintési pontok E1 és E2.

Bevezető feladat:

Egy adott „F” fókuszpontú parabola „v” vezéregyenesének egy tetszőleges „S” pontjából húzzunk érintőt a parabola két ágához! (Érintési pontok: A és B)
Vizsgáljuk meg a két érintő egymáshoz viszonyított helyzetét!
„Úgy tűnik”, merőlegesek egymásra.

Állítás:

A parabola vezéregyenesének tetszőleges pontjából húzott érintők merőlegesek egymásra és az érintési pontokat összekötő húr áthalad a parabola fókuszán.

Bizonyítás:

Húzzunk a parabola egyik –B- érintési pontjából merőlegest a vezéregyenesre! Kapjuk a B’ pontot.

 

 

 

Mivel „B” a parabola egy pontja, ezért FB=BB’

 

 

 

Tudjuk, hogy a parabola érintője felezi a pontból a fókuszba vezető egyenes és a pontból a vezéregyenesre emelt merőleges szögét. FBS∠= SBB’∠=ß.

 

 

Húzzunk a másik érintési pontból (A) is merőlegest a „v” vezéregyenesre! Kapjuk az A’ pontot. Majd kössük össze az „A”pontot az „F” ponttal is!

 

 

 

Mivel az „A” pont a parabola egy pontja, ezért AF=AA’. Mivel a parabola érintője felezi a pontból a fókuszba vezető egyenes és a pontból a vezéregyenesre emelt merőleges szögét, ezért  FAS∠=
SAA’∠=α.

 

 

Az AA’S derékszögű háromszögben ASA’∠=90º- α, a BB’S derékszögű háromszögben BSB’∠=90º- ß. Mivel az „S” pont illeszkedik a vezéregyenesre, ezért ASB∠=180-(90º- α)-(90º-ß)= α+ß.

 

 

 

Kössük össze az „F” pontot A’ és B’ pontokkal! Mivel A’S=SF=SB’ ezért az F pont egyenlő távol van A’; S; B’ pontoktól. Ezért Thalész tétel miatt az A’B’F háromszög derékszögű, azaz A’FB’∠=90º .

 

 

Az FB’ merőleges SB-re, FA’ merőleges SA-ra, ezért A’FB’∠=ASB∠, hiszen azonos típusú merőleges szárú szögek. Így tehát ASB∠= α+ß=90º= A’FB’∠

AFA’∠+ A’FB’∠+ BFB’∠=(90º- α)+ 90º+(90º-ß)=180º.
Tehát az „F” pont illeszkedik az AB húrra.