Ennek a tételnek a bizonyítása a csonka kúp térfogatának a levezetésének menetét követi.

A csonka gúla térfogatának meghatározásánál a következőket használjuk fel:

A csonka gúla térfogatának meghatározásánál egy teljes gúlából indulunk ki. Ennek felső részéből levágunk egy kisebb, az eredetihez középpontosan hasonló gúlát.

Jelölések:

Eredeti teljes gúla:
T: alapterület, m1 gúla magasság, V1 térfogat, ahol ​\( V_{1}=\frac{T·m_{1}}{3} \)​.

Hozzá középpontosan hasonló, levágott kisgúla:
t: alapterület, m2 gúla magasság, V2 térfogat, ahol ​\( V_{2}=\frac{t·m_{2}}{3} \)​.

Csonka gúla:
T alaplap területe, t: fedőlap területe, m csonka gúla magassága, V térfogat. Itt
m=m1m2 és V=V1V2.

Mivel a levágott kis gúla és az eredeti teljes gúla középpontosan hasonló, ahol a hasonlóság középpontja az eredeti gúla csúcsa, és jelöljük a hasonlóság arányát λl-val.

Felhasználva a hasonló sokszögek területeire és a hasonló gúlák térfogataira szóló tételt: \( λ=\frac{m_{1}}{m_{2}} \; és \; λ^2=\frac{T}{t} \; valamint \; λ^3=\frac{V_{1}}{V_{2}} \).

Átrendezve: m= λ⋅m2, és T=λ2⋅t, valamint V13V2.

V=V1-V2 egyenlőségből     V=λ3V2-V2.
Itt V2-t kiemelve:                     V=V23-1).

3-1)-t szorzat alakba írva:    V= V2(λ-1)(λ2+λ+1), de V2-t helyettesítve: V= t⋅m2(λ-1)( λ2+λ+1)/3 adódik.

Itt (λ-1) tényezőt m2-vel, a (λ2+λ+1) tényezőt pedig t-vel szorozva:
V= (λm2-m2)( λ2t+λt+t)/3.

Itt felhasználva, hogy λm22= m1 és, λ2t=T,
V= ( m1– m2)(T+λt+t)/3 alakot kapjuk.

T= λ2 t egyenlőségből Tt=λ2 t2, ezért: ​\( λ·t=\sqrt{T·t} \)​.

A csonka gúla térfogata tehát: ​\( V=\frac{m·(T+\sqrt{T·t}+t)}{3} \)​.

A kb. Kr.e. 1700-ból származó un. moszkvai papirusz tanúsága szerint az ókorban az egyiptomiak már a fenti képlet szerint számolták a négyzet alapú csonka gúla térfogatát!

Az un. moszkvai papirusz egy részlete.

A moszkvai papirusz “javított” formában.

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.