Csonka gúla térfogata

Ennek a tételnek a bizonyítása a csonka kúp térfogatának a levezetésének menetét követi.

A csonka gúla térfogatának meghatározásánál a következőket használjuk fel:

• A teljes, nem csonka gúla térfogata: ​\( V_{gúla}=\frac{T_{alap}·m_{gúla}}{3} \)​ .
• A középpontos hasonlóságot.

A csonka gúla térfogatának meghatározásánál egy teljes gúlából indulunk ki. Ennek felső részéből levágunk egy kisebb, az eredetihez középpontosan hasonló gúlát.

Jelölések:

Eredeti teljes gúla:
T: alapterület, m₁ gúla magasság, V₁ térfogat, ahol ​\( V_{1}=\frac{T·m_{1}}{3} \)​.

Hozzá középpontosan hasonló, levágott kisgúla:
t: alapterület, m₂ gúla magasság, V₂ térfogat, ahol ​\( V_{2}=\frac{t·m_{2}}{3} \)​.

Csonka gúla:
T alaplap területe, t: fedőlap területe, m csonka gúla magassága, V térfogat. Itt
m=m₁–m₂ és V=V₁–V₂.

Mivel a levágott kis gúla és az eredeti teljes gúla középpontosan hasonló, ahol a hasonlóság középpontja az eredeti gúla csúcsa, és jelöljük a hasonlóság arányát λl-val.

Felhasználva a hasonló sokszögek területeire és a hasonló gúlák térfogataira szóló tételt: \( λ=\frac{m_{1}}{m_{2}} \; és \; λ^2=\frac{T}{t} \; valamint \; λ^3=\frac{V_{1}}{V_{2}} \).

Átrendezve: m₁ = λ⋅m_2, és T=λ²⋅t, valamint V₁=λ³V₂.

V=V₁-V₂ egyenlőségből     V=λ³V₂-V₂.
Itt V₂-t kiemelve:                     V=V₂(λ³-1).

(λ³-1)-t szorzat alakba írva:    V= V₂(λ-1)(λ²+λ+1), de V₂-t helyettesítve: V= t⋅m₂(λ-1)( λ²+λ+1)/3 adódik.

Itt (λ-1) tényezőt m₂-vel, a (λ²+λ+1) tényezőt pedig t-vel szorozva:
V= (λm₂-m₂)( λ²t+λt+t)/3.

Itt felhasználva, hogy λm₂2= m₁ és, λ²t=T,
V= ( m₁– m₂)(T+λt+t)/3 alakot kapjuk.

T= λ² t egyenlőségből Tt=λ² t², ezért: ​\( λ·t=\sqrt{T·t} \)​.

A csonka gúla térfogata tehát: ​\( V=\frac{m·(T+\sqrt{T·t}+t)}{3} \)​.

A kb. Kr.e. 1700-ból származó un. moszkvai papirusz tanúsága szerint az ókorban az egyiptomiak már a fenti képlet szerint számolták a négyzet alapú csonka gúla térfogatát!