A négyzetszámok sorozatát az an=n2 formulával adhatjuk meg. A sorozat tagjai: {1; 4; 9; 16;…;n2…}
A tétel egy zárt formulát ad a négyzetszámok sorozata első n tagjának összegének meghatározására, amit jelöljünk Sn-nel.
Állítás:
\( S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+(n-1)^{2}+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
Bizonyítás teljes indukcióval történik.
1. Az állítás n=1 és n=2 esetén is igaz, hiszen \( S_{1}=1^{2}=\frac{1(1+1)(2·1+1)}{6}=1 \)és n=2 esetén \( S_{2}=1^{2}+2^{2}=\frac{2(2+1)(2·2+1)}{6}=\frac{30}{6}=5 \)
2. Indukciós feltevés: Tételezzük fel, hogy n az utolsó olyan pozitív egész szám, amire még igaz az állítás, azaz S_{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
3. Bizonyítjuk (n+1)-re az öröklődést.
Azt kell bizonyítani, hogy \( S_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \).összefüggés igaz. Itt az eredeti állításban n helyére az (n+1) formális helyettesítést alkalmaztuk.
Mivel Sn+1=Sn+(n+1)2, és felhasználva az Sn-re tett indukciós feltevést: | \( S_{n+1}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \) |
Közös nevezőre hozva és (n+1)-t kiemelve: | \( S_{n+1}=(n+1)\frac{n(2n+1)+6(n+1)}{6} \) |
Beszorzva: | \( S_{n+1} = (n+1)\frac{2n^2+n+6n+6}{6} \) |
Más csoportosításban: | \( S_{n+1}=(n+1)\frac{2n^2+4n+3n+6}{6} \) |
A szegletes zárójelben kiemeléssel: | \( S_{n+1}=(n+1)\frac{2n(n+2)+3(n+2)}{6} \) |
Ugyanitt most az (n+2)-t kiemelve: | S\( (n+1)\frac{(n+2)(2n+3)}{6} \) |
Ezt kellett bizonyítani.
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.