Az első n pozitív egész szám négyzetösszege

A négyzetszámok sorozatát az an=n2 formulával adhatjuk meg. A sorozat tagjai: {1; 4; 9; 16;…;n2…}

A tétel egy zárt formulát ad a négyzetszámok sorozata első n tagjának összegének meghatározására, amit jelöljünk Sn-nel.

Állítás:

\( S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+(n-1)^{2}+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

Bizonyítás teljes indukcióval történik.

1. Az állítás n=1 és n=2 esetén is igaz, hiszen ​\( S_{1}=1^{2}=\frac{1(1+1)(2·1+1)}{6}=1 \)​és n=2 esetén  ​\( S_{2}=1^{2}+2^{2}=\frac{2(2+1)(2·2+1)}{6}=\frac{30}{6}=5 \)
2. Indukciós feltevés: Tételezzük fel, hogy n az utolsó olyan pozitív egész szám, amire még igaz az állítás, azaz S_{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
3. Bizonyítjuk (n+1)-re az öröklődést.
Azt kell bizonyítani, hogy ​\( S_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \).összefüggés igaz. Itt az eredeti állításban n helyére az (n+1) formális helyettesítést alkalmaztuk.

Mivel Sn+1=Sn+(n+1)2, és felhasználva az Sn-re tett indukciós feltevést: \( S_{n+1}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \)
Közös nevezőre hozva és (n+1)-t kiemelve: \( S_{n+1}=(n+1)\frac{n(2n+1)+6(n+1)}{6} \)
Beszorzva: \( S_{n+1} = (n+1)\frac{2n^2+n+6n+6}{6} \)
Más csoportosításban: \( S_{n+1}=(n+1)\frac{2n^2+4n+3n+6}{6} \)
A szegletes zárójelben kiemeléssel: \( S_{n+1}=(n+1)\frac{2n(n+2)+3(n+2)}{6} \)
Ugyanitt most az (n+2)-t kiemelve: S​​\( (n+1)\frac{(n+2)(2n+3)}{6} \)

Ezt kellett bizonyítani.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.